The real interpolation method

Abstract

[eng] This Master’s Final Project provides a systematic study of the real interpolation method, tracing its development from the classical theorems of Riesz-Thorin and Marcinkiewicz. The abstract framework is constructed using Peetre’s $K$-functional and the associated $J$-method, establishing essential structural properties such as the Density, Reiteration, and Wolff’s theorems. The project also investigates the behavior of operator compactness under interpolation. To address this, we present the approach relying on the ball measure of non-compactness to demonstrate how compactness is preserved between interpolated spaces. Furthermore, the core theory is extended to the broader category of quasi-normed Abelian groups. This generalization is a necessary mathematical step to provide a proof of the general Marcinkiewicz Interpolation Theorem. Finally, the work concludes by briefly illustrating these abstract concepts through concrete mathematical examples, such as the computation of interpolation spaces for Sobolev couples or the classical endpoints in harmonic analysis $H^1$ and $BMO$.

[cat] Aquest Treball Final de Màster proporciona un estudi sistemàtic del mètode d’interpolació real, resseguint el seu desenvolupament des dels teoremes clàssics de Riesz-Thorin i Marcinkiewicz. El marc abstracte es construeix utilitzant el $K$-funcional de Peetre i el $J$-mètode associat, establint propietats estructurals essencials com els teoremes de Densitat, Reiteració i Wolff. El projecte també investiga el comportament de la compacitat dels operadors sota interpolació. Per abordar-ho, presentem l’enfocament basat en la mesura de no-compacitat de bola per demostrar com es preserva la compacitat entre espais interpolats. A més, la teoria central s’estén a la categoria més àmplia dels grups Abelians quasi-normats. Aquesta generalització és un pas matemàtic necessari per proporcionar una demostració del Teorema d’Interpolació de Marcinkiewicz general. Finalment, el treball conclou il·lustrant breument aquests conceptes abstractes a través d’exemples matemàtics concrets, com ara el càlcul d’espais d’interpolació per a parelles de Sobolev o per als típics extrems en anàlisi harmònica $H^1$ i $BMO$.