Trayectorias de amortización en préstamos hipotecarios a tipo variable: modelización discreta y optimización, Una aplicación al caso REDAL

Abstract

[eng] This dissertation studies the mathematical modelling of amortization paths in variable-rate mortgage loans, using the REDAL case as its motivating context. REDAL is interpreted here as a possible indetermination in the rule used to recalculate future instalments. The aim of the work is not to address the legal validity of a specific contractual clause, but to analyse, from a mathematical and financial perspective, what happens when the initial principal, the maturity and the sequence of interest rates are known, but no unique path of instalments is operationally determined.

The mortgage loan is formulated as a discrete-time dynamical system in which the outstanding balance is the state variable and the instalment is the control variable. This framework makes it possible to define a set of financially admissible paths, subject to non-negative outstanding balances, exact repayment at maturity and absence of negative amortization. The French amortization method is introduced as a particular rule for selecting instalments and is used as a benchmark path, without being interpreted as an absolute financial optimum.

On this basis, a convex optimization problem is formulated in order to select admissible paths close to the French benchmark. The model is then extended by adding a quadratic penalty on year-to-year changes in instalments, producing smoother and financially interpretable amortization paths. Under the assumptions considered, existence and uniqueness of the solution are established, and the numerical implementation is carried out through a reduced KKT system.

The model is finally applied to a retrospective simulation of a variable-rate mortgage over the period 2000-2024. The results show that it is possible to construct admissible paths different from the French benchmark that substantially reduce year-to-year instalment variability while preserving final repayment and satisfying the financial constraints of the model. The main conclusion is that the rule used to select instalments is not neutral: different admissible rules may lead to measurable differences in instalments, total interest, outstanding balance and the timing of the borrower's payment effort.

[spa] Este trabajo estudia la modelización matemática de trayectorias de amortización en préstamos hipotecarios a tipo variable, tomando como motivación el caso REDAL, entendido como una posible indeterminación de la regla de recálculo de cuotas. El objetivo no es resolver una controversia jurídica, sino analizar desde un punto de vista matemático-financiero qué ocurre cuando, conocidos el capital inicial, el plazo y la sucesión de tipos de interés, no queda determinada de forma única la trayectoria de cuotas aplicable.

Para ello, el préstamo se formula como un sistema dinámico discreto en el que el capital pendiente actúa como variable de estado y la cuota como variable de control. A partir de esta formulación se define un conjunto de trayectorias financieramente admisibles, caracterizado por la no negatividad del capital pendiente, la cancelación exacta al vencimiento y la ausencia de amortización negativa. El sistema francés de amortización se introduce como una regla particular de selección de cuotas y se utiliza como trayectoria de referencia, sin atribuirle un carácter de optimalidad financiera absoluta.

Sobre esta base, se plantea un problema de optimización convexa que selecciona trayectorias admisibles próximas a la trayectoria francesa. Posteriormente, el modelo se refuerza mediante una penalización cuadrática de los saltos interanuales de cuota, con el fin de obtener trayectorias más suaves y financieramente interpretables. Se demuestra la existencia y unicidad de solución bajo las hipótesis consideradas y se resuelve computacionalmente el problema mediante un sistema KKT reducido.

Finalmente, se aplica el modelo a una simulación retrospectiva de una hipoteca variable entre 2000 y 2024. Los resultados muestran que es posible construir trayectorias admisibles distintas de la francesa que reducen significativamente la variabilidad interanual de las cuotas, manteniendo la cancelación final del préstamo y el cumplimiento de las restricciones financieras. La principal conclusión es que la regla de selección de cuotas no es neutral: distintas reglas admisibles pueden generar efectos medibles sobre cuotas, intereses, capital pendiente y perfil temporal de pagos.