Treballs Finals de Grau (TFG) - Administració i Direcció d’Empreses i Matemàtiques (Doble Grau)

URI permanent per a aquesta col·leccióhttps://hdl.handle.net/2445/176591

Treballs Finals del Doble Grau de d'Administració i Direcció d'Empreses i Matemàtiques de les Facultats d’Economia i Empresa i la Facultat de Matemàtiques i Informàtica de la Universitat de Barcelona. Doble itinerari d’estudis simultanis: ADE+MAT.

Estadístiques

Examinar

Mostrant 1 - 20 de 63

Comparación de medidas de riesgo: VaR y ES aplicados a distintos activos bursátiles
(2026) Lina, Ye; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[eng] This project analyses the financial risk of different assets applying two of the most widely used risk measures in finance. To this end, an empirical study is carried out in which VaR and ES of four assets from different sectors are estimated and compared. Using historical price data of these assets, daily returns are calculated and their main statistical features are examined, including the Jarque-Bera test to study the normality of the return series. Both risk measures are calculated for different confidence levels and periods, with the aim of comparing risk behaviour across assets, market periods and estimation methods. In addition, backtesting is applied to the VaR estimates in order to evaluate their accuracy. Finally, the effect of a hedging strategy with European put options is analysed within the Black-Scholes framework. This empirical analysis is implemented using the software R. [spa] En este trabajo se analiza el riesgo financiero de distintos activos mediante las dos medidas de riesgo más utilizadas en el ámbito financiero. Para ello, se realiza un ejercicio práctico donde se estiman y comparan el VaR y el ES de cuatro activos de sectores diferentes. A partir de los datos históricos de estos activos se obtienen los rendimientos diarios y se estudian sus principales características estadísticas, incluyendo el test Jarque-Bera para analizar la normalidad de dichos rendimientos. Posteriormente, se calculan ambas medidas de riesgo para distintos niveles de confianza y subperiodos, con el objetivo de comparar el comportamiento del riesgo entre activos, etapas de mercado y métodos de estimación. Adicionalmente, se realiza un backtesting del VaR para evaluar la precisión de las estimaciones obtenidas. Por último, se analiza el efecto de una estrategia de cobertura con opciones put europeas siguiendo el modelo Black-Scholes. Todo este análisis se desarrolla mediante el software R.
Modelos Ocultos de Markov: Fundamentos Teóricos y Aplicación a la Identificación de Regímenes en el S&P 500
(2026-06-10) Sánchez Prats, Clara; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
Este trabajo aplica los Modelos Ocultos de Markov a la detección de regímenes de mercado, tomando como caso de estudio el índice S&P 500. La primera parte construye los fundamentos matemáticos: las cadenas de Markov en tiempo discreto, la definición formal de un modelo oculto de Markov y los algoritmos Forward-Backward, de Viterbi y de Baum-Welch, antes de especificar un modelo gaussiano multivariante para el terreno financiero. La segunda parte lleva ese modelo a la serie del S&P 500, desde los datos y su implementación en Python hasta la estimación, la interpretación económica de los regímenes y su validación frente a eventos históricos documentados. El trabajo se cierra con las conclusiones y las principales limitaciones del modelo.
A Study of the Kelly Criterion: from Betting to Financial Markets
(2026-06-10) Mundet Lopez, Pau; Corcuera Valverde, José Manuel
[eng] The Kelly criterion prescribes, at each investment opportunity, the fraction of capital that maximises the long-run exponential growth rate of wealth, equivalently the expected logarithm of wealth. This thesis develops the criterion from first principles and follows it from its origin in games of chance to its place in the continuous-time theory of financial markets. The starting point is the binary gambling model, in which a gambler repeatedly stakes a fixed proportion of current capital on a favourable bet. We show that the Kelly fraction resolves the conflict between maximising expected wealth and minimising the probability of ruin. This fraction is then shown to be asymptotically optimal: almost surely it outgrows any other fixed proportion in the long run, and it minimises the expected time to reach a distant wealth target. Both even and uneven odds are treated. The criterion is then carried into continuous time. A scaling limit of the discrete model yields geometric Brownian motion, and within the one-dimensional Black-Scholes market the long-run growth rate is maximised by the constant fraction $\ell^* = (\mu-r)/\sigma^2$, which a Hamilton-Jacobi-Bellman verification argument proves optimal among all admissible strategies. We conclude by identifying $\ell^*$ as the logarithmic-utility case of Merton’s classical solution to the optimal portfolio problem, so that the Kelly criterion appears as a distinguished member of a one-parameter family of optimal strategies indexed by relative risk aversion. [cat] El criteri de Kelly prescriu, en cada oportunitat d’inversió, la fracció de capital que maximitza la taxa exponencial de creixement de la riquesa a llarg termini, o, equivalentment, l’esperança del logaritme de la riquesa. Aquesta tesi desenvolupa el criteri a partir de primers principis i en segueix l’evolució des del seu origen en els jocs d’atzar fins al seu lloc dins la teoria contínua dels mercats financers. El punt de partida és el model binari d’apostes, en el qual un jugador aposta repetidament una proporció fixa del seu capital actual en una aposta favorable. Mostrem que la fracció de Kelly resol el conflicte entre maximitzar la riquesa esperada i minimitzar la probabilitat de ruïna. A continuació es demostra que aquesta fracció és asimptòticament òptima: gairebé amb certesa supera a llarg termini qualsevol altra proporció fixa, i minimitza el temps esperat necessari per assolir un objectiu llunyà de riquesa. Es tracten tant les apostes amb quotes equitatives com les de quotes desiguals. El criteri es trasllada després al temps continu. Un límit d’escala del model discret condueix al moviment brownià geomètric, i dins del mercat unidimensional de Black-Scholes la taxa de creixement a llarg termini es maximitza amb la fracció constant $\ell^* = (\mu-r)/\sigma^2$, que un argument de verificació basat en l’equació de Hamilton-Jacobi-Bellman demostra òptima entre totes les estratègies admissibles. Finalment, identifiquem $\ell^*$ com el cas d’utilitat logarítmica de la solució clàssica de Merton al problema de cartera òptima, de manera que el criteri de Kelly apareix com un membre distingit d’una família uniparamètrica d’estratègies òptimes indexades pel grau d’aversió relativa al risc.
A Heuristic Approximation of Linear Programming Models for Supply Chain Disruption Impact Assessment
(2026-06-10) Gascón Hernández, Lucía; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-; Roca Beltrán, Patrícia
[eng] This thesis develops and validates a solver-less structural approximation of the linear-programming model for supply chain disruption assessment proposed by Simchi-Levi et al. The approximation reproduces two key performance indicators — impacted revenue and time-to-survive — through a deterministic forward simulation driven by the bill-of-materials hierarchy, multi-tier inventory positions, and supplier sourcing shares, with no recourse to a commercial optimiser. The approximation regime is characterised analytically: exact agreement holds whenever the disrupted node is non-substitutable, and conservative overestimation arises wherever multi-sourcing grants the benchmark re-routing freedom. Validation on eight networks — seven synthetic instances of increasing structural complexity and one anonymised industrial instance — confirms that the framework preserves the supplier priority ranking on every instance and remains sufficient for strategic risk prioritisation while eliminating solver dependency. [spa] Esta tesis desarrolla y valida una aproximación estructural sin solver del modelo de programación lineal para la evaluación de disrupciones en cadenas de suministro propuesto por Simchi-Levi et al. La aproximación reproduce dos indicadores clave — facturación impactada y tiempo de supervivencia — mediante una simulación determinista hacia adelante basada en la jerarquía de la lista de materiales, las posiciones de inventario multinivel y las cuotas de aprovisionamiento por proveedor, sin recurrir a ningún optimizador comercial. El régimen de aproximación se caracteriza analíticamente: el acuerdo exacto se da cuando el nodo disrumpido no es sustituible, y la sobreestimación conservadora aparece donde el aprovisionamiento múltiple otorga al modelo de referencia libertad de rerutamiento. La validación sobre ocho redes — siete instancias sintéticas de complejidad estructural creciente y una instancia industrial anonimizada — confirma que el marco preserva la ordenación de proveedores por exposición en todas las instancias y resulta suficiente para la priorización estratégica del riesgo sin requerir un solver.
Valoració d'opcions mitjançant el mètode de Monte Carlo
(2026-06-09) Cebollero Capdevila, Laia; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[eng] This thesis presents the Monte Carlo method as a general tool to approximate expectations arising in financial modelling. Within the Black-Scholes framework, we implement Monte Carlo pricing for a European call and for Asian calls with both discrete and continuous monitoring on the Euro Stoxx 50 index, the latter approximated through time discretization. The numerical study emphasizes error quantification through standard errors and confidence intervals, and discusses the impact of time discretization in the continuous-monitoring case. We also investigate variance reduction through antithetic variates. [cat] Aquest treball presenta el mètode de Monte Carlo com una eina general per aproximar esperances en modelització financera. En el marc de Black-Scholes, s’implementa el mètode de Monte Carlo en la valoració d’una opció call europea i d’opcions call asiàtiques amb monitoratge discret i continu sobre l’Euro Stoxx 50, aquest darrer aproximat numèricament mitjançant una discretització temporal. L’estudi numèric posa èmfasi en la quantificació de l’error mitjançant l’error estàndard i intervals de confiança, i analitza l’efecte de la discretització en el cas de monitoratge continu. Finalment, es considera l’ús de variables antitètiques com a tècnica de reducció de variància.
Predicció del VIX mitjançant models ARMA: Estimació de la prima de volatilitat
(2026-06-10) Cañamero i Gonzalez, David; Florit i Selma, Carmen
[eng] This thesis explains the construction of the VIX index and its derivatives, introduces ARMA models and the Box-Jenkins methodology, and estimates an ARMA(2,2) model to quantify the volatility premium. The results validate the "low premium response puzzle", demonstrating that, during periods of economic instability, futures remain undervalued and the premium turns sharply negative. Finally, long-memory dynamics are identified, paving the way for future premium estimations using fractional differencing or GARCH models. [cat] Aquest treball explica la construcció de l’índex VIX i els seus derivats, introdueix els models ARMA i la metodologia de Box-Jenkins i estima un model ARMA(2,2) amb l’objectiu de quantificar la prima de la volatilitat. Els resultats validen el "trencaclosques de la baixa prima", demostrant que, en episodis d’inestabilitat econòmica, els futurs queden infravalorats i la prima s’inverteix bruscament. Finalment, s’identifiquen dinàmiques de memòria llarga que obren la porta a futures aproximacions de la prima amb models amb diferenciació fraccionària o GARCH.
Trayectorias de amortización en préstamos hipotecarios a tipo variable: modelización discreta y optimización, Una aplicación al caso REDAL
(2026-06-09) Canals i Hernández, Joan; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[eng] This dissertation studies the mathematical modelling of amortization paths in variable-rate mortgage loans, using the REDAL case as its motivating context. REDAL is interpreted here as a possible indetermination in the rule used to recalculate future instalments. The aim of the work is not to address the legal validity of a specific contractual clause, but to analyse, from a mathematical and financial perspective, what happens when the initial principal, the maturity and the sequence of interest rates are known, but no unique path of instalments is operationally determined. The mortgage loan is formulated as a discrete-time dynamical system in which the outstanding balance is the state variable and the instalment is the control variable. This framework makes it possible to define a set of financially admissible paths, subject to non-negative outstanding balances, exact repayment at maturity and absence of negative amortization. The French amortization method is introduced as a particular rule for selecting instalments and is used as a benchmark path, without being interpreted as an absolute financial optimum. On this basis, a convex optimization problem is formulated in order to select admissible paths close to the French benchmark. The model is then extended by adding a quadratic penalty on year-to-year changes in instalments, producing smoother and financially interpretable amortization paths. Under the assumptions considered, existence and uniqueness of the solution are established, and the numerical implementation is carried out through a reduced KKT system. The model is finally applied to a retrospective simulation of a variable-rate mortgage over the period 2000-2024. The results show that it is possible to construct admissible paths different from the French benchmark that substantially reduce year-to-year instalment variability while preserving final repayment and satisfying the financial constraints of the model. The main conclusion is that the rule used to select instalments is not neutral: different admissible rules may lead to measurable differences in instalments, total interest, outstanding balance and the timing of the borrower's payment effort. [spa] Este trabajo estudia la modelización matemática de trayectorias de amortización en préstamos hipotecarios a tipo variable, tomando como motivación el caso REDAL, entendido como una posible indeterminación de la regla de recálculo de cuotas. El objetivo no es resolver una controversia jurídica, sino analizar desde un punto de vista matemático-financiero qué ocurre cuando, conocidos el capital inicial, el plazo y la sucesión de tipos de interés, no queda determinada de forma única la trayectoria de cuotas aplicable. Para ello, el préstamo se formula como un sistema dinámico discreto en el que el capital pendiente actúa como variable de estado y la cuota como variable de control. A partir de esta formulación se define un conjunto de trayectorias financieramente admisibles, caracterizado por la no negatividad del capital pendiente, la cancelación exacta al vencimiento y la ausencia de amortización negativa. El sistema francés de amortización se introduce como una regla particular de selección de cuotas y se utiliza como trayectoria de referencia, sin atribuirle un carácter de optimalidad financiera absoluta. Sobre esta base, se plantea un problema de optimización convexa que selecciona trayectorias admisibles próximas a la trayectoria francesa. Posteriormente, el modelo se refuerza mediante una penalización cuadrática de los saltos interanuales de cuota, con el fin de obtener trayectorias más suaves y financieramente interpretables. Se demuestra la existencia y unicidad de solución bajo las hipótesis consideradas y se resuelve computacionalmente el problema mediante un sistema KKT reducido. Finalmente, se aplica el modelo a una simulación retrospectiva de una hipoteca variable entre 2000 y 2024. Los resultados muestran que es posible construir trayectorias admisibles distintas de la francesa que reducen significativamente la variabilidad interanual de las cuotas, manteniendo la cancelación final del préstamo y el cumplimiento de las restricciones financieras. La principal conclusión es que la regla de selección de cuotas no es neutral: distintas reglas admisibles pueden generar efectos medibles sobre cuotas, intereses, capital pendiente y perfil temporal de pagos.
Les opcions d'intercanvi vulnerables
(2026-01-13) Subies Garcia, Bernat; Ceballos Hornero, David
[en] This paper examines the valuation of swap options and its extension to the vulnerable case, explicitly adding counterparty default risk. It analyses classical models, such as Margrabe’s, and their limitations in over-the-counter environments. Based on an intensity model, pricing formulas are derived that combine market risk and credit risk. Finally, a numerical example is presented illustrating the impact of default on the option’s value. [ca] Aquest treball estudia la valoració d’opcions d’intercanvi i la seva extensió al cas vulnerable, incorporant explícitament el risc de default de la contrapartida. S’analitzen els models clàssics, com el de Margrabe, i les seves limitacions en entorns OTC. A partir d’un model d’intensitat, es deriven fórmules de preu que combinen risc de mercat i risc de crèdit. Finalment, es presenta un exemple numèric que il·lustra l’impacte del default en el valor de l’opció.
Matemáticas en los seguros de vida: rentas vitalicias y primas netas del modelo de supervivencia
(2026-01-10) Perrot Requejo, Santiago; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[en] This work deals with life insurance. It focuses exclusively on insurance contracts covering death and on life annuities, analysing their mathematical principles: the methods used to calculate net premiums and to evaluate the benefits, based on the theory of compound interest and on probabilistic survival models. Its main objective is, first, to understand how a person's life expectancy can be modelled as a random variable (the future lifetime). Applying the theory of compound interest to this survival model makes it possible to compute the present value of the series of payments to be made by the insurance company offering a life insurance policy or a life annuity, as well as its expected value (the net single premium). Finally, the amount of the premiums to be charged to the policyholder is analysed, depending on their frequency and term structure. The work concludes with two practical applications covering the main concepts developed. [es] Este trabajo trata de los seguros de vida. Se centra exclusivamente en los que cubren el fallecimiento y las rentas vitalicias, analizando sus fundamentos matemáticos: el método de cálculo de sus primas netas y de la valoración de sus prestaciones, gracias a la teoría del interés compuesto y al modelo probabilístico de supervivencia. Su objetivo es, en primer lugar, de entender como la esperanza de vida de una persona puede ser modelizada como una variable aleatoria (la vida futura). Aplicar la teoría del interés compuesto a este modelo de supervivencia permite calcular el valor actual de la serie de pagos que debe abonar la entidad aseguradora que ofrece un seguro de vida o una renta vitalicia, así como su valor esperado (la prima única neta). Finalmente, analizaremos la cuantía de las primas que deberá exigir al asegurado, en función de su frecuencia y estructura temporal. Este trabajo concluye con dos aplicaciones prácticas, que abarcan los principales puntos definidos.
Sistemas dinámicos caóticos: aplicación al modelo de Kopel
(2025-07-21) Valderrama Rivas, Eduardo; Gonchenko, Marina
[en] This study examines the behavior of nonlinear discrete dynamical systems and the emergence of deterministic chaos. It presents the fundamental concepts of stability, bifurcations, and attractors, along with the definitions of chaos proposed by Devaney and Li–Yorke. The logistic map is analyzed as a classical one-dimensional case: its fixed points, periodic cycles, and the period-doubling cascade leading to chaos are studied and verified through the Lyapunov exponent. The methodology is then applied to the Kopel model, a two-dimensional system describing price interactions in a duopoly. By analyzing the Jacobian matrix and computing the Lyapunov exponents numerically, both periodic and chaotic regimes are identified depending on parameter values. The results show that chaos can arise in simple economic models, highlighting the universality of the transition mechanisms to chaos and the usefulness of dynamical systems theory for understanding complex phenomena. [es] Este trabajo estudia el comportamiento de sistemas dinámicos discretos no lineales y la aparición del caos determinista. Se presentan los conceptos fundamentales de estabilidad, bifurcaciones y atractores, junto con las definiciones de caos según Devaney y Li–Yorke. El mapa logístico se analiza como caso unidimensional clásico: se determinan sus puntos fijos, ciclos y la cascada de duplicaciones de periodo que conduce al caos, verificando los resultados mediante el exponente de Lyapunov. Posteriormente, se aplica la metodología al modelo de Kopel, un sistema bidimensional que describe la interacción de precios en un duopolio. A través del Jacobiano y del cálculo numérico de los exponentes de Lyapunov, se identifican regiones periódicas y caóticas en función de los parámetros. Los resultados muestran que el caos puede surgir en modelos económicos simples, destacando la universalidad de los mecanismos de transición al caos y la utilidad del análisis dinámico para describir fenómenos complejos.
Probabilitats sobre el grup simètric i el barrejat de cartes
(2026-01-08) Lopez Ruiz, Mario; Florit i Selma, Carmen
[en] This work was born with an objective: to develop an object that would describe the shuffling of cards to gain an advantage in card games such as Blackjack. However, the work took a more theoretical direction, focusing on the study of the mathematical objects themselves. The studied object, the position matrix, not only efficiently summarizes shuffling methods but also, through matrix multiplication, easily simulates the effect of repeated shuffling. While studies like those of Persi Diaconis and other mathematicians seek to quantify when a deck is sufficiently shuffled, our analysis demonstrates the opposite situation: when a shuffle is not sufficiently good. This complementary approach coincides, in fact, with the original motivation of the work. [ca] Aquest treball va néixer amb un objectiu, desenvolupar un objecte que permetés descriure la barreja de cartes per obtenir avantatge en jocs de cartes com el BlackJack. Però el treball va prendre una direcció més teòrica, centrant-se en l’estudi dels propis objectes matemàtics. L’objecte estudiat, la matriu de posicions, no només resumeix de forma eficient els mètodes de barrejat, sinó que, a través de la multiplicació de matrius, permet simular amb facilitat l’efecte de barrejar repetidament. Mentre que estudis com els de Persi Diaconis i altres matemàtics busquen quantificar quan una baralla està prou barrejada, la nostra anàlisi permet demostrar la situació contrària: quan una barreja no és suficientment bona. Aquest enfocament complementari coincideix, de fet, amb la motivació original del treball.
The mathematics of quantum amplitude estimation algorithm in quantum computing
(2026-01-13) Hidalgo Castillo, José Antonio; Statuto, Nahuel
[en] This work establishes the mathematical and physical framework necessary to rigorously analyze the computational advantages of Quantum Amplitude Estimation (QAE) algorithm. We begin by defining the underlying linear algebra structures—specifically finite-dimensional Hilbert spaces, linear operators, and tensor products—to provide the necessary justification for Dirac notation via the Riesz-Fréchet representation theorem and to formulate the fundamental postulates of quantum mechanics. Building upon this theoretical basis, we theoretically demonstrate that QAE achieves a quadratic speedup over classical Monte Carlo methods, specifically reducing the query complexity required to achieve an additive error $\mathcal{O}(1/\sqrt{M})$ to $\mathcal{O}(1/M)$, where $M$ is the number of quantum samples. Furthermore, we analyze techniques to boost the success probability of the algorithm to arbitrary confidence levels. Finally, we apply this algorithmic framework to financial risk management to estimate the Value at Risk (VaR) and Economic Capital Requirement (ECR) of a credit portfolio. [es] Este trabajo establece el marco matemático y físico necesario para analizar rigurosamente las ventajas computacionales del algoritmo de Estimación de Amplitud Cuántica (QAE). Comenzamos definiendo las estructuras subyacentes del álgebra lineal (específicamente los espacios de Hilbert de dimensión finita, los operadores lineales y los productos tensoriales) para proporcionar la justificación necesaria para la notación de Dirac mediante el teorema de representación de Riesz-Fréchet y para formular los postulados fundamentales de la mecánica cuántica. Con base en esta base teórica, demostramos teóricamente que QAE logra una aceleración cuadrática sobre los métodos clásicos de Monte Carlo, reduciendo específicamente la complejidad de la consulta requerida para lograr un error aditivo $\mathcal{O}(1/\sqrt{M})$ a $\mathcal{O}(1/M)$, donde $M$ es el número de muestras cuánticas. Además, analizamos técnicas para aumentar la probabilidad de éxito del algoritmo a niveles de confianza arbitrarios. Finalmente, aplicamos este marco algorítmico a la gestión del riesgo financiero para estimar el Valor en Riesgo (VaR) y el Requerimiento de Capital Económico (ECR) de una cartera de crédito.
Valoració de derivats financers: el model de Black-Scholes
(2026-01-12) Morenilla Ortiz, Pol; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-; Burés Mogollón, Òscar
[ca] En aquest treball s’estudia la valoració de derivats financers en temps continu, amb especial atenció al model de Black-Scholes. Després d’una introducció als conceptes bàsics dels mercats financers i dels instruments derivats, es desenvolupen els fonaments probabilístics i analítics necessaris, incloent-hi la teoria de variables aleatòries contínues, processos estocàstics i el moviment brownià. Es presenta el càlcul estocàstic d’Itô i s'analitzen propietats fonamentals com la variació quadràtica, que permeten entendre la dinàmica diferencial dels processos aleatoris. En aquest marc, es construeix rigorosament el model de Black-Scholes a partir d’una equació diferencial estocàstica que descriu l’evolució del preu de l’actiu subjacent com un moviment brownià geomètric. Mitjançant arguments de replicació i absència d’arbitratge, es dedueix l’equació en derivades parcials de Black-Scholes i s’en resol explícitament la solució per a opcions europees de tipus call, obtenint la forma clàssica de valoració. A partir de la paritat Call-Put, es deriva també el preu de les opcions put. Finalment, s’introdueix el Teorema Fonamental de l’Asset Pricing com a marc general de valoració per esperances sota mesures neutres al risc, i s’analitza el model de Constant Elasticity of Variance (CEV) com una generalització del model de Black-Scholes. En absència de fórmules tancades, es presenta el mètode de Monte Carlo com una eina numèrica per aproximar el preu dels derivats. [en] This thesis studies the valuation of financial derivatives in continuous time, with particular emphasis on the Black-Scholes model. After an introduction to the basic concepts of financial markets and derivative instruments, the necessary probabilistic and analytical foundations are developed, including the theory of continuous random variables, stochastic processes, and Brownian motion. Stochastic calculus in the sense of Itô is presented, together with fundamental properties such as quadratic variation, which are essential for understanding the differential behavior of stochastic processes. Within this framework, the Black-Scholes model is rigorously constructed starting from a stochastic differential equation that describes the evolution of the underlying asset as a geometric Brownian motion. Through replication and no-arbitrage arguments, the Black-Scholes partial differential equation is derived and explicitly solved for European call options, yielding the classical pricing formula. The price of European put options is then obtained using put-call parity. Finally, the Fundamental Theorem of Asset Pricing is introduced as a general framework for valuation under risk-neutral measures, and the Constant Elasticity of Variance (CEV) model is analyzed as a generalization of the Black-Scholes model. When closed-form formulas are not available, the Monte Carlo method is presented as a numerical tool to approximate derivative prices.
Valoración de opciones financieras mediante modelos binomiales y Teoría de Martingalas
(2026-01-12) Fabra Soucheiron, Blanca; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[en] Fair valuation of financial derivatives in uncertain environments is one of the fundamental pillars of modern finance. This work presents a study of the discrete-time Cox-Ross-Rubinstein binomial model, demonstrating how the no-arbitrage principle leads to the risk-neutral measure and the behavior of discounted prices as martingales. Both European options, through the construction of replicating portfolios and the backward induction algorithm, and American options, where the optimal stopping problem is formulated and solved using the Snell Envelope, are studied. A practical application is conducted by valuing a call option on Apple Inc. shares using a custom algorithm developed in C language. The results obtained validate the convergence of the discrete model towards the continuous Black-Scholes formula and allow for the analysis of price sensitivity regarding historical and implied market volatility. [es] La valoración justa de derivados financieros en entornos de incertidumbre es uno de los pilares fundamentales de las finanzas modernas. Este trabajo presenta un estudio del modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein en tiempo discreto, que demuestra cómo el principio de ausencia de arbitraje conduce a la medida neutral al riesgo y al comportamiento de los precios descontados como martingalas. Se estudian tanto las opciones europeas, mediante la construcción de carteras replicantes y el algoritmo de inducción hacia atrás, como las opciones americanas, donde el problema de parada óptima se formula y resuelve mediante la Envolvente de Snell. Se realiza una aplicación práctica valorando una opción de compra call sobre acciones de Apple Inc. utilizando un algoritmo propio desarrollado en lenguaje C. Los resultados obtenidos validan la convergencia del modelo discreto hacia la fórmula continua de Black-Scholes y permiten además analizar la sensibilidad del precio ante la volatilidad histórica e implícita del mercado.
Tropical geometry and competitive equilibrium in product mix auctions
(2026-01-13) Ayala Ferrer, Alberto; Álvarez-Mozos, Mikel
[en] This work studies the application of tropical geometry to the analysis of competitive equilibrium in product mix auctions. The paper is structured into five main chapters. We begin with an introduction that overviews the context of the work. The second chapter develops the theoretical background in polytope theory and tropical geometry necessary. The third chapter focuses on the duality correspondence between two fundamental structures that arise from tropical geometry. The fourth chapter interprets product mix auctions using a tropical geometry framework. Finally, the fifth chapter discusses the Unimodularity Theorem, and its implications for the existence of competitive equilibrium. [es] Este trabajo estudia la aplicación de la geometría tropical al análisis del equilibrio competitivo en las subastas product-mix. Está estructurado en cinco capítulos principales. Comenzamos con una introducción que expone el contexto del trabajo. El segundo capítulo desarrolla los fundamentos teóricos acerca de los politopos y la geometría tropical. El tercer capítulo se centra en la correspondencia de dualidad que aparece entre dos de las estructuras fundamentales de esta geometría. El cuarto capítulo interpreta las subastas product-mix utilizando el lenguaje y el marco de la geometría tropical. Finalmente, el quinto y último capítulo discute el Teorema de Unimodularidad y sus implicaciones para la existencia de equilibrio competitivo.
Avaluació de la dependència i risc extrem entre indicadors d'insolvència: una aplicació de les còpules en l'anàlisi financer
(2026-01-01) Aiguadé Carulla, Maria; Marti Pidelaserra, Jordi; Florit i Selma, Carmen
[en] This work studies how the risk of corporate insolvency evolves before and during the crisis caused by COVID-19, with the aim of analyzing both the behavior of extreme risk and the relationship between different financial ratios that indicate insolvency. The analysis is carried out on a set of companies at risk of insolvency, combining non-parametric dependence measures, bivariate copula adjustment and extreme risk measures such as Value at Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES). Thus, the work combines tools from statistics and risk theory allowing us to study insolvency risk from a perspective complementary to that of the classic methods used in the literature. The tools described are applied to a data sample configured by about 1300 companies and their respective annual accounts during the years 2017 - 2023. The analyzed period allows to compare the behavior of the indicators before and during the crisis caused by COVID-19. The data have been extracted from the SABI database (Sistema de Análisis de Balances Ibéricos). Overall, the study shows the usefulness of combining dependency analysis with extreme risk measures to better understand the behavior of insolvency risk in crisis environments, as well as the importance of taking into account business variety when interpreting the results. [ca] Aquest treball estudia com evoluciona el risc d’insolvència empresarial abans i durant la crisi provocada pel COVID-19, amb l’objectiu d’analitzar tant el comportament del risc extrem com la relació entre diferents ràtios financeres indicadores d’insolvència. L’anàlisi es realitza sobre un conjunt d’empreses en situació de risc d’insolvència, combinant mesures de dependència no paramètriques, ajust de còpules bivariants i mesures de risc extrem com el Value at Risk (VaR) i l’Expected Shortfall (ES). Així doncs, el treball combina eines d’estadística i de teoria del risc que permeten estudiar el risc d’insolvència des d’una perspectiva complementària a la dels mètodes clàssics utilitzats en la literatura. Les eines descrites s’apliquen a una mostra de dades configurada per unes 1300 empreses i els seus comptes anuals respectius durant els anys 2017 - 2023. El període analitzat permet comparar el comportament dels indicadors abans i durant la crisi provocada pel COVID-19. Les dades han sigut extretes de la base de dades SABI (Sistema de Análisis de Balances Ibéricos). En conjunt, el treball mostra la utilitat de combinar l’anàlisi de dependència amb mesures de risc extrem per entendre millor el comportament del risc d’insolvència en entorns de crisi, així com la importància de tenir en compte la varietat empresarial a l’hora d’interpretar els resultats.
Valoración de Opciones Financieras mediante Procesos Estocásticos: El Modelo de Black-Scholes-Merton bajo el Enfoque de Martingalas
(2025-06-09) Vela Mendoza, Natalia; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-; Florit i Selma, Carmen
Este Trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo presentar una derivación rigurosa de la fórmula de valoración de opciones de Black-Scholes-Merton mediante el enfoque de martingalas y el cálculo estocástico. En lugar de seguir el método clásico basado en ecuaciones en derivadas parciales, se opta por un tratamiento probabilista, centrado en el cambio de medida y en la formulación bajo la medida de riesgo neutral. Para ello, se desarrollan los fundamentos matemáticos necesarios, incluyendo teoría de martingalas, cálculo de Itô, el teorema de Girsanov y el teorema de representación de martingalas. A continuación, se modeliza un mercado financiero idealizado bajo las hipótesis del modelo, y se aplica el marco estocástico para derivar la fórmula de valoración de opciones europeas. Finalmente, se discuten estrategias de cobertura y se analiza la sensibilidad de los precios mediante las "griegas". El trabajo combina herramientas avanzadas de la teoría de la probabilidad y las finanzas matemáticas, y proporciona una visión clara del papel que desempeñan los procesos estocásticos en la valoración de instrumentos derivados.
Construcción y evaluación de carteras del DJIA mediante medidas de riesgo
(2025-06-10) Mora García, Rocío; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
Este Trabajo de Fin de Grado analiza la relación entre la rentabilidad y el riesgo en inversiones financieras, utilizando datos históricos de las 30 empresas que componen el DJIA. Para ver esta relación se realiza un ejercicio práctico mediante el cual se cálculan diferentes medidas de riego como volatilidad, beta, VaR, AVaR, coeficiente de variación y downside deviation a partir de rentabilidades simples y medias. Posteriormente, se implementa el modelo de Markowitz para construir carteras eficientes a partir de la frontera eficiente que proporciona este modelo. Por último, se analiza el modelo CAPM como una extensión del modelo de Markowitz, que introduce el concepto de rentabilidad esperada como determinante para conocer si los activos analizados se encuentran infravalorados o sobrevalorados. Todo el análisis se lleva a cabo en R y se visualiza mediante un paquete de R llamado Shiny.
Processos estocàstics en l'anàlisi de dades esportives
(2025-06-10) Leopold Vicent, Guillermo; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-; Florit i Selma, Carmen
Aquest treball presenta una comparació rigorosa entre els models de Bachelier, Black-Scholes i Stern des d’una perspectiva matemàtica i aplicada, centrant-se en la seva utilitat per modelitzar la dinàmica de variables aleatòries en l'àmbit financer i esportiu. Es posa especial èmfasi en el model de Stern, que adapta el moviment brownià amb deriva per descriure l’evolució de la diferència de punts en un partit d’esport, i que es mostra especialment adequat per a l’anàlisi quantitativa d’esdeveniments esportius com els partits de bàsquet. S’aplica la metodologia al cas real d’un partit de quarts de final de la lliga ACB (Barça–Unicaja), utilitzant dades de quotes d’apostes en directe i estimacions pre-partit dels mercats. El model de Stern permet calcular en tot moment la probabilitat de victòria de cada equip, detectar possibles ineficiències de mercat i identificar oportunitats d’aposta favorables, que poden ser explotades mitjançant criteris matemàtics com el de Kelly. El treball discuteix també les limitacions dels models lineals amb volatilitat constant i suggereix possibles extensions per millorar-ne l’ajust a la realitat. En conjunt, el TFG posa de manifest la utilitat dels models estocàstics per a l’anàlisi objectiva d’esdeveniments esportius i la valoració de mercats d’apostes, tot oferint un pont entre la teoria financera i la pràctica esportiva.
Estimació del risc de fons d’inversió mitjançant la simulació de Monte Carlo
(2025-06-10) Calero Codina, Silvia; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
L’objectiu d’aquest treball és analitzar el risc de mercat dels fons d’inversió tot estimant el Value at Risk (VaR) mitjançant simulació de Monte Carlo. S’exposa el marc probabilístic necessari i la construcció del model. La metodologia es verifica amb dades reals mostrant la sensibilitat del VaR a la composició de la cartera. S’analitzen les limitacions del VaR, especialment la seva manca de coherència en situacions de pèrdues extremes. Finalment, es presenta una alternativa que conclou que la combinació del VaR amb altres mesures ofereix una eina m´es sòlida per gestionar el risc.

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