Stability and moduli spaces of syzygy bundles

Abstract

[eng] To determine whether a syzygy bundle on PN is stable, or semistable, is a long-standing problem in algebraic geometry. It is closely related to the problem of finding the Hilbert function and the minimal free resolution of the coordinate ring of the variety defined by a family of general homogeneous polynomials f1, . . . , fn in K[X0, . . . ,XN]. This problem goes back at least to the eighties, when Fröberg addresses it in his paper, to find a lower estimate for the Hilbert series of such a ring in terms of the degrees of f1, . . . , fn.

In this thesis we consider the case of syzygy bundles defined by general forms f1, . . . , fn of the same degree d, and prove their stability and unobstructedness for N ≥ 2, except for the case (N, d, n) = (2, 2, 5), where only semistability is guaranteed. To this end, we focus on the case of monomials and derive consequences for general forms from here. The main goal of this work is therefore to give a complete answer to the following problem: Does there exist for every d and every n ≤ (d+N / N) a family of n monomials in K [X0, . . . ,XN] of degree d such that their syzygy bundle is semistable?

[cat] Determinar si un fibrat de sizígies sobre P(N) és estable, o semiestable, és un problema amb una llarga història en geometria algebraica. Està estretament relacionat amb el problema de trobar la resolució lliure minimal de l'anell de coordenades de la varietat definida per una família de polinomis homogenis genèrics f(1), . . . , f(n) en K[X0, . . . ,XN]. Aquest problema data almenys dels anys vuitanta, quan Fröberg l'estudia al seu article i troba una estimació per a un minorant de la sèrie de Hilbert d'aquell anell en termes dels graus dels polinomis f(1), . . . , f(n).

En aquesta tesi, considerem el cas de fibrats de sizígies definits per formes genèriques f(1), . . . , f(n) d'un mateix grau "d", i demostrem la seva estabilitat i no obstrucció per a N ≥ 2, excepte en el cas (N, d, n) = (2, 2, 5), on només la semiestabilitat està garantida. Per dur a terme aquesta tasca, ens restringirme primer al cas de monomis i en traurem conseqüències per al cas de formes genèriques. Per això, l'objectiu principal d'aquesta tesi és donar una resposta completa al problema següent: "Existeix per a cada d i cada n ≤ (d+N / N) una família de n monomis en K [X0, . . . ,XN] de grau "d" tal que el seu fibrat de sizígies és semiestable?