Tesis Doctorals - Departament - Algebra i Geometria

URI permanent per a aquesta col·leccióhttps://hdl.handle.net/2445/35131

Estadístiques

Examinar

Mostrant 1 - 20 de 50

Ulrich bundles and varieties of wild representation type
(Universitat de Barcelona, 2011-06-21) Pons Llopis, Joan; Arrondo, Enrique; Miró-Roig, Rosa M. (Rosa Maria); Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] The subject of this thesis lies at the junction of mainly three topics: construction of large families of Arithmetically Cohen-Macaulay indecomposable vector bundles on a given projective variety X, the shape (i.e, the graded Betti numbers) of the minimal free resolution of a general set of points onX and the (ir)reducibility of the Hilbert scheme Hilbs(X) of zero-dimensional subschemes Z (belongs) X of length s. (Fore more details see the Full Summary enclosed as a complementary file)
Images of Galois representations and p-adic models of Shimura curves
(Universitat de Barcelona, 2016-12-16) Amorós Carafí, Laia, 1989-; Bayer i Isant, Pilar, 1946-; Wiese, Gabor; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] The Langlands program is a vast and unifying network of conjectures that connect the world of automorphic representations of reductive algebraic groups and the world of Galois representations. These conjectures associate an automorphic representation of a reductive algebraic group to every n-dimensional representation of a Galois group, and the other way around: they attach a Galois representation to any automorphic representation of a reductive algebraic group. Moreover, these correspondences are done in such a way that the automorphic L-functions attached to the two objects coincide. The theory of modular forms is a field of complex analysis whose main importance lies on its connections and applications to number theory. We will make use, on the one hand, of the arithmetic properties of modular forms to study certain Galois representations and their number theoretic meaning. On the other hand, we will use the geometric meaning of these complex analytic functions to study a natural generalization of modular curves. A modular curve is a geometric object that parametrizes isomorphism classes of elliptic curves together with some additional structure depending on some modular subgroup. The generalization that we will be interested in are the so called Shimura curves. We will be particularly interested in their p-adic models. In this thesis, we treat two different topics, one in each side of the Langlands program. In the Galois representations' side, we are interested in Galois representations that take values in local Hecke algebras attached to modular forms over finite fields. In the automorphic forms' side, we are interested in Shimura curves: we develop some arithmetic results in definite quaternion algebras and give some results about Mumford curves covering p-adic Shimura curves.
Shimura curves and their p-adic uniformization = Corbes de Shimura i les seves uniformitzacions p-àdiques
(Universitat de Barcelona, 2016-01-29) Milione, Piermarco; Bayer i Isant, Pilar, 1946-; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] The main purpose of this dissertation is to introduce Shimura curves from the non-Archimedean point of view, paying special attention to those aspects that can make this theory amenable for computations. Despite the fact that the theory of p-adic uniformization of Shimura curves goes back to the 1960s with the results of Cerednik and Drinfeld, only in the last years explicit examples related to these uniformizations have been computed. The structure of this dissertation is as follows. In Chapter 1 we introduce Shimura curves starting from an indefinite quaternion algebra H over a totally real field F. This is done mostly following the fundamental paper of Shimura [Shi67]. We also give the definitions using the adelic approach of [Shi70b] and [Shi70c]. The point of view we adopt is the arithmetical one, since we try to make clear the link connecting Shimura curves to the arithmetic of quaternion algebras. In this sense, we give evidence of why Shimura curves have to be considered a geometric interpretation of most arithmetical phenomena in quaternion orders. Chapter 2 has the aim of introducing those non-Archimedean objects which appear later in the statements of the theorems of Cerednik and Drinfeld. In Chapter 3 we start the study of fundamental domains in Hp for the action of discrete and cocompact subgroups of PGL2(Qp) arising in the p-adic uniformization of Shimura curves. In Chapter 4 we associate to the p-adic uniformization of the Shimura curve X(DH;N) certain parameters in Hp(Cp) analogous to the complex multiplication parameters in H: we refer to them by p-imaginary multiplication paramters, since they are defined over the unramified quadratic extension of Qp. In the study of these parameters, we follow the p-adic analog of the line adopted in [AB04]. Specifically, we are able to recover these parameters as zeros of certain binary quadratic forms with p-adic coefficients.
On the hyperbolic uniformization of Shimura curves with an Atkin-Lehner quotient of genus 0
(Universitat de Barcelona, 2016-02-03) Nualart Riera, Joan; Travesa i Grau, Artur; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] The main goal of this thesis is to contribute to the explicit hyperbolic uniformization of Shimura curves. We will restrict to the case of curves attached to Eichler orders in rational quaternion algebras whose maximal Atkin-Lehner quotient has genus 0, which despite multiple differences bears some resemblance to the classical modular case. We will provide an approach to obtain an explicit uniformization of these curves and some of their covers, together with several applications. We will illustrate all the applications with plenty of examples.
Formes d'ona de Maass i aplicacions = Maass waveforms and applications
(Universitat de Barcelona, 2016-01-13) Remón Adell, Dionís; Bayer i Isant, Pilar, 1946-; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[cat] Aquesta memòria està dedicada principalment al tractament computacional de les formes d’ona de Maass i a la consideració d’algunes aplicacions pràctiques derivades del seu estudi. Per abreujar, designarem aquestes funcions, simplement, amb el nom de formes de Maass. Les formes de Maass són funcions inﬁnitament diferenciables que presenten comportaments periòdics (és a dir, automorfs) respecte de grups fuchsians. Des d’un punt de vista numèric, podem dir que les formes de Maass són força més misterioses que les formes automorfes habituals, que són funcions meromorfes. D’aquestes, i especialment quan el grup d’automorﬁa és un subgrup de congruència del grup modular, se’n coneixen nombrosos exemples numèrics, alguns dels quals es remunten al segle XIX, mentre que ha estat únicament en els darrers anys que s’han obtingut alguns exemples explícits de formes de Maass, referits tots ells a subgrups de congruència del grup modular. D’entrada, la tesi contempla una exposició i una implementació d’algoritmes existents pel càlcul de desenvolupaments a l’entorn de la punta de l’inﬁnit de formes de Maass respecte de subgrups de congruència del grup modular. Tot seguit proposem un conjunt d’algoritmes que, d’acord amb la ﬁlosoﬁa de [BT07a] i [BT07b], s’orienten cap a l’obtenció dels desenvolupaments de formes de Maass a l’entorn de punts no necessàriament cuspidals. Aquests algoritmes es tracten en el cas modular i, també, en el cas quaterniònic, en què el grup fuchsià prové de les unitats d’un ordre d’una àlgebra de quaternions racional indeﬁnida. El caràcter discontinu dels grups fuchsians ha estat emprat en el disseny dels anomenats algoritmes de reducció de punts, els quals han resultat bàsics per als objectius anteriors. Al mateix temps, hem fet ús d’aquests algoritmes de reducció de punts pel disseny de codis nous de transmissió de dades en xarxes sense ﬁls i aptes, per tant, per als mòbils que emprem diàriament. Per causa del seu origen, els hem anomenat codis fuchsians. La memòria està dividida en tres parts i un apèndix. La primera part comprèn del capítol 1 al cap´ıtol 4. Conté una exposició teòrica dels grups fuchsians així com també el desenvolupament d’eines computacionals orientades a les aplicacions posteriors del treball. La segona part comprèn els capítols 5 al 8. En ella presentem les formes de Maass i els conceptes destinats al càlcul dels seus desenvolupaments. La tercera part, que comprèn els capítols 9 i 10, és la dedicada al disseny dels codis fuchsians per a la transmissió de dades. A l’apèndix s’hi troba un resum en anglès.
Construction of right inverses of the Kirwan map
(Universitat de Barcelona, 2015-12-17) Bellmunt Giralt, Andratx; Mundet i Riera, Ignasi; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] The objects studied in this thesis are Hamiltonian spaces and it is assumed that the reader is familiar with them as explained in e.g. [Can, VII-IX] or [McSa1, §5]. The usual contents of ﬁrst year graduate courses in diﬀerential geometry and algebraic topology are also assumed. We did our best eﬀort to explain or to provide useful references to anything beyond that, including some of the notions that appear in this introduction.
Contributions to the study of Cartier algebras and local cohomology modules
(Universitat de Barcelona, 2014-11-20) Fernandez Boix, Alberto; Àlvarez Montaner, Josep; Zarzuela, Santiago; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[cat] Aquesta tesi està dedicada a l’estudi de les àlgebres de Cartier i els mòduls de cohomologia local. Més concretament, es prova que l’àlgebra de Cartier d’un anell complet d’Stanley-Reisner R només pot ser principalment generada o infinitament generada com R-àlgebra, i que aquest fet tot just depèn de la descomposició primària del corresponent ideal d’Stanley-Reisner. En segon lloc, es proporciona un algoritme per calcular tots els ideals que són fixos respecte de l’acció de qualsevol subàlgebra de Cartier principalment generada de l’àlgebra de Cartier associada a l’anell de polinomis Z/pZ[x(1),…, x(d)], on "p" denota un nombre primer. Finalment, es produeixen successions espectrals que recuperen i estenen la successió espectral de Mayer-Vietoris de mòduls de cohomologia local obtinguda en completa generalitat per G. Lyubeznik; a més, es donen condicions per tal de determinar quan aquestes successions degeneren a la segona pàgina i, en tal cas, s’estudien els problemes d’extensió corresponents.
On low degree curves in C(2)
(Universitat de Barcelona, 2014-07-16) Sáez Cornellana, Meritxell; Naranjo del Val, Juan Carlos; Barja Yáñez, Miguel Ángel; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[cat] En aquesta Tesi s’estudien corbes en el producte simètric d’una corba, C(2). Les caracteritzem, estudiem la seva immersió en C(2) i deduïm propietats de la corba C a partir de l’existència de corbes a C(2) d’un tipus concret. A més, donem una caracterització de C(n), per n general, a partir de l’existència de certes subvarietats amb unes propietats concretes.
Homology Stability for Spaces of Surfaces
(Universitat de Barcelona, 2013-07-03) Cantero Morán, Federico; Casacuberta, Carles; Randal-Williams, Oscar; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[spa] En esta tesis estudiamos el espacio de subsuperficies compactas, conexas y orientadas de género g de una variedad ambiente M, y en particular sus propiedades homológicas. En particular, construimos una aplicación scanning que compara este espacio con el espacio de secciones de un cierto fibrado sobre M asociado a su fibrado tangente, y mostramos que esta aplicación induce un isomorfismo en homología en cierto rango. Nuestros resultados son análogos al teorema de McDuff sobre espacios de configuraciones, generalizados de 0-subvariedades a 2-subvariedades.
Filtraciones simbólicas y sus álgebras asociadas
(Universitat de Barcelona, 1995-12-15) Martí Farré, Jaume; Giral Silió, José Ma.; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[spa] Dados un ideal I de un anillo Noetheriano R y un sistema multiplicativo S de R, se establecen tres tipos de caracterizaciones para la equivalencia; la equivalencia lineal, y la igualdad entre las filtraciones I-adica, (S)-simbólica y entera asociadas a I y a S: 1) Caracterizaciones topológicas, a partir de resultados generales de comparación de topologías definidas por filtraciones arbitrarias. 2) Mediante desigualdades entre alturas, dispersiones analíticas y dimensiones. 3) Caracterizaciones homológicas, en términos de la anulación de ciertos morfismos naturales entre grupos O-ésimos de cohomología local y functores EXT, y también en términos de anulación de ciertos grupos I-ésimos de cohomología local respecto I. Estos resultados se aplican al estudio de propiedades de finitud del algebra de Rees (S)-simbólica asociada a I, y a la determinación de que propiedades del anillo graduado asociado a I reflejan un buen comportamiento de las potencias (S)-simbólicas de I.
On the diagonals of a Rees algebra
(Universitat de Barcelona, 1999-01-01) Lavila Vidal, Olga; Zarzuela, Santiago; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] The aim of this work is to study the ring-theoretic properties of the diagonals of a Rees algebra, w that we shall review the known results about these problems, and finally we will give a summary of the contents and results obtained in this work.hich from a geometric point of view are the homogenous coordinate rings of embeddings of blow-ups of projective varieties along a subvariety. First we are going to introduce the subject and the main problems. After that we shall review the known results about these problems, and finally we will give a summary of the contents and results obtained in this work.
On Higher Arithmetic Intersection Theory
(Universitat de Barcelona, 2007-11-29) Feliu i Trijueque, Elisenda; Burgos Gil, José I.; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] The results of this thesis contribute to the program of developing a higher arithmetic intersection theory. These results constitute chapters 3 and 5. Chapters 2 and 4 consist of the preliminary results needed for chapters 3 and 5, in the area of homotopy theory of simplicial sheaves and algebraic K-theory. In chapter 3, we develop a higher intersection theory on arithmetic varieties, "à la Bloch". We construct a representative of the Beilinson regulator using the Deligne complex of differential forms. Next, we develop a theory of higher arithmetic Chow groups, for any arithmetic variety X over a field. We prove that the construction is functorial and that there is a commutative and associative product structure, compatible with the algebraic intersection product. Therefore, we provide an arithmetic intersection product for arithmetic varieties over a field. Chapters 4 and 5 are devoted to the definition of Adams operations on higher arithmetic K-theory. By the nature of the definition of the higher arithmetic K-groups, it is apparently necessary to have a description of the Adams operations in algebraic K-theory in terms of a chain morphism, compatible with the representative of the Beilinson regulator "ch". In chapter 4, we obtain a chain morphism inducing Adams operations on higher algebraic K-theory over the field of rational numbers. This definition is of combinatory nature. This chain morphism is designed to commute with the Beilinson regulator "ch" given by Burgos and Wang. In chapter 5 it is shown that this chain morphism indeed commutes with the representative of the Beilinson regulator "ch" and we use this fact to define Adams operations on the rational higher arithmetic K-groups. The development of this study required tools to compare morphisms from algebraic K-groups to a suitable cohomology theory or to the K-groups themselves. In chapter 2, we study these comparisons at a general level, providing theorems giving sufficient conditions for two morphisms to agree. The theory underlying the proofs is the homotopy theory of simplicial sheaves. As an application, we prove that the Adams operations defined by Grayson agree for any regular noetherian scheme of finite Krull dimension with the Adams operations defined by Gillet and Soulé by means of homotopy theory of sheaves. In particular, this implies that the Adams operations defined by Grayson's work.
Aritmètica d'ordres quaterniònics i uniformització hiperbòlica de corbes de Shimura
(Universitat de Barcelona, 2000-02-07) Alsina i Aubach, Montserrat; Bayer i Isant, Pilar, 1946-; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[cat] L'estudi dels grups fuchsians i les funcions automorfes associades s'inicià en el segle XIX en els treballs de H. Poincaré, R. Fricke i F. Klein, principalment. A partir dels anys seixanta, al llarg de nombrosos treballs, G. Shimura considerà l'acció de grups fuchsians "F" donats per subgrups d'unitats d'àlgebres de quaternions en el semiplà de Poincaré "H". El quocient F/H s'identifica amb els punts complexos d'una corba algebraica, anomenada corba de Shimura. Si l'àlgebra de quaternions és M(2, Q), en resulten les corbes modulars. Avui dia l'estudi de les corbes de Shimura ha mostrat ser un tema d'interès creixent en teoria de nombres, ja que han esdevingut en els darrers anys una eina clau en l'estudi de problemes aritmètics i en la demostració de resultats importants com ara el teorema de Fermat. Els tractaments algorítmics de les corbes de Shimura no modulars i de les corbes modulars són essencialment diferents. D'una banda, les corbes de Shimura es defineixen com a espais de moduli de superfícies abelianes, de les quals no se'n té informació numèrica. De l'altra, l'absència d'elements parabòlics en el grup fuchsià permet utilitzar desenvolupaments de Fourier a l'entorn de les puntes per a representar les funcions automorfes associades. De manera anàloga a la relació entre formes quadràtiques binàries i ordres dels cossos quadràtics, tenim una relació entre formes quadràtiques ternàries i ordres quaterniònics. Aquesta relació ens permet traslladar a un àmbit d'àlgebra no commutativa les necessitats de càlcul en corbes de Shimura. Notem que l'inici de l'estudi dels grups fuchsians en els treballs de Poincaré està lligat a la teoria de les formes quadràtiques. Shimura substituí el llenguatge algebraic de formes quadràtiques pel llenguatge geomètric de varietats abelianes. Així, com a eines algebraiques per a poder calcular hem considerat tant els ordres de les àlgebres de quaternions com les formes quadràtiques. En particular, això ha requerit l'estudi de treballs anteriors i posteriors a Shimura referents a àlgebres de quaternions i formes quadràtiques. Els principals resultats de la memòria fan referència a l'existència i propietats d'uniformitzacions hiperbòliques de corbes de Shimura, que s'obtenen per mitjà d'un estudi previ de l'aritmètica d'ordres de les àlgebres de quaternions. El model canònic obtingut per Shimura està caracteritzat per uns certs punts, anomenats punts de multiplicació complexa. En la memòria hem determinat aquests punts de manera explícita, a partir d'un conjunt de bijeccions que establim entre: classes d'immersions optimals d'ordres quadràtics imaginaris en ordres quaterniònics, classes de representacions primitives d'enters per formes quadràtiques ternàries enteres, classes de formes quadràtiques binàries de coeficients semi-enters en cossos quadràtics, definides i els punts de multiplicació complexa. Aquest plantejament ens ha portat, en particular, al desenvolupament d'una teoria de classificació de formes quadràtiques binàries per certs subgrups discrets de SL(2,R) diferents del grup modular SL(2,Z). Paral.lelament hem elaborat el paquet informàtic "Poincare", implementat en MapleV, amb unes 200 instruccions, que manipula els diferents objectes que intervenen al llarg de la memòria: ordres d'àlgebres de quaternions, formes quadràtiques, objectes de geometria hiperbòlica, immersions, punts de les corbes de Shimura, etc. El paquet conté la implementació dels algoritmes obtinguts i permet realitzar càlculs efectius. El capítol 1 està dedicat a les àlgebres de quaternions i els seus ordres. En el capítol 2 s'introdueixen formalment les corbes de Shimura X(D, N), definides a partir d'un ordre d'Eichler O(D, N). En el capítol 3 donem una uniformització hiperbòlica implementable de les corbes de Shimura per al cas no ramificat, X(, N) = X(o)(N), de nivell N primer. Els capítols 4, 5 i 6 estan dedicats a les formes quadràtiques obtingudes a partir de les àlgebres de quaternions, especialment les formes nòrmiques quaternària i ternària i el conjunt de formes binàries H(O) associat a un ordre quaterniònic O incluido en H. Donem resultats sobre la relació entre els invariants de l'ordre i les formes quadràtiques associades. A més de l'estudi dels seus invariants, l'aplicació dels conceptes introduïts per H. Brandt ens ha permès arribar a resultats sobre la caracterització de les formes nòrmiques que són K-formes. En el capítol 7 tractem amb immersions optimals d'ordres de cossos quadràtics en ordres d'àlgebres de quaternions, a partir de l'estudi de les formes quadràtiques associades als ordres. D'una banda, això ens ha permès obtenir resultats sobre formes quadràtiques; d'altra banda, ens ha aportat efectivitat al càlcul d'immersions. Relacionem les immersions de cossos quadràtics en àlgebres de quaternions amb les representacions de formes quadràtiques binàries per formes quaternàries i les representacions de nombres per formes ternàries. Mostrem lligams entre la classificació de les immersions i la de les representacions de nombres per formes ternàries i donem resultats sobre famílies de formes binàries de coeficients semi-enters en un cos quadràtic amb determinant fixat associades als ordres quaterniònics i sobre la seva classificació per subgrups discrets de SL(2, R). En el capítol 8 estudiem la uniformització hiperbòlica de les corbes de Shimura corresponents a àlgebres de divisió i presentem polígons hiperbòlics explícits que són dominis fonamentals per a corbes de Shimura corresponents a àlgebres poc ramificades. Caracteritzem les homografies quaterniàniques a partir dels resultats d'immersions i formes quadràtiques del capítol anterior, estudiem les homografies el-líptiques i les explicitem per a les àlgebres poc ramificades de tipus A i B. Estudiem també les homografies hiperbòliques que fixen l'infinit i certes simetries, anàlogues a les del cas modular. Així, posem de manifest l'existència d'una homotècia principal que substitueix la translació del cas no ramificat i introduïm les rectes hiperbòliques principals. A continuació, donem pautes per a l'aplicació del mètode dels cercles d'isometria en la construcció de dominis fonamentals. Fem efectiva la construcció de dominis fonamentals, per mitjà de polígons hiperbòlics i en descrivim les característiques. Mostrem també les representacions gràfiques dels dominis fonamentals explicitats, per a les corbes de Shimura X(6, 1), X(10, 1) i X(15, 1), i taules amb els cicles i la presentació dels grups. En el capítol 9 estudiem els punts de multiplicació complexa de les corbes de Shimura X(D, N) utilitzant els resultats sobre la uniformització hiperbòlica i el tàndem immersions-formes quadràtiques dels capítols anteriors. Considerem un conjunt finit d'ordres quadràtics per als quals hi ha punts de multiplicació complexa especials. En particular, per a les corbes de Shimura corresponents a àlgebres no ramificades i poc ramificades explicitem els resultats anteriors i en donem representacions gràfiques. Més concretament, representem tots els punts de multiplicació complexa especials en els dominis fonamentals de les corbes X(1, N) presentats en el capítol 3 i en els dominis de les corbes X(D, 1) presentats en el capítol 8. Les comandes implementades permeten classificar els ordres per als quals una corba X(D, N) té punts de multiplicació complexa especials, obtenir la llista d'ordres quadràtics de multiplicació complexa especial i calcular els punts de multiplicació complexa per un ordre quadràtic fixat.
Nombres d'extensions abelianes i les seves funcions generatrius
(Universitat de Barcelona, 1988-02-25) Travesa i Grau, Artur; Bayer i Isant, Pilar, 1946-; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[cat] Aquesta memòria està dedicada a l'estudi dels nombres d'extensions abelianes en dos casos importants. En el primer capítol treballem en el cas local. Sigui K una extensió finita de Q(p); M. Krasner el 1.966 i J-P. Serre el 1.978 varen obtenir el nombre de totes les extensions de K de grau donat. En aquesta memòria estudiem els següents problemes: Problema 1.- Donats enters positius e,n: a) caracteritzar en quins casos és no buit el conjunt M(ab)(n,e;K) de totes les extensions abelianes de grau "n" de K amb índex de ramificació e; b) calcular el cardinal a(n,e;K) de M(ab)(n,e;K), per a totes les parelles (n,e); c) calcular el nombre a(n;K) de totes les extensions abelianes de grau "n" de K. Seguidament introduïm la funció generatriu de tots els nombres a(n;K), nombres que posem com a coeficients d'una sèrie de Dirichlet. Problema 2.- Estudiar aquesta funció generatriu; especialment, la seva extensió meromorfa a tot el pla complex i els seus pols. En els capítols II i III treballem en el cas en què el cos base és el cos Q dels nombres racionals. Fixem un conjunt finit P = {p(1),p(2),...,p(k)} d'enters primers p(i) 1. Estudiem, aleshores, els següents problemes: Problema 1'.- Donats P, e, n: a) caracteritzar quan> (M)ab(n, e, P) és no buit; b) calcular el cardinal de M(ab)(n, e, P); c) caracteritzar quan M(ab)(n;P) és no buit; d) calcular el cardinal, a(n;P) de M(ab)(n;P). Introduïm també la funció generatriu dels nombres a(n;P). Problema 2'.- Estudiar aquesta funció generatriu, com en el cas local. Tots els resultats de teoria de grups que necessitem s'inclouen en un apèndix. Tracten del nombre de subgrups d'un p-grup abelià finit que satisfan certes condicions. Tot i que les solucions d'alguns d'aquests problemes són conegudes, en donem aquí una solució completa de manera que els resultats es puguin aplicar directament als problemes de cossos plantejats.
Multigraded Structures and the Depth of Blow-up Algebras
(Universitat de Barcelona, 2008-07-14) Colomé Nin, Gemma; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] A first goal of this thesis is to contribute to the knowledge of cohomological properties of non-standard multigraded modules. In particular we study the Hilbert function of a non-standard multigraded module, the asymptotic depth of the homogeneous components of a multigraded module and the asymptotic depth of the Veronese modules. To reach our purposes, we generalize some cohomological invariants to the non-standard multigraded case and we study properties on the vanishing of local cohomology modules. In particular we study the generalized depth of a multigraded module. In chapters 2, 3 and 4, we consider multigraded rings S, finitely generated over the local ring S0 by elements of degrees g1,.,gr with gi=(g1i,.,gii,.,0) non-negative integral vectors and gii not zero for i=1,.,r. In Chapter 2, we prove that the Hilbert function of a multigraded S-module is quasi-polynomial in a cone of N^r. Moreover the Grothendieck-Serre formula is satisfied in our situation as well. In Chapter 3, using the quasi-polynomial behavior of the Hilbert function of the Koszul homology modules of a multigraded S-module M with respect to a system of generators of the maximal ideal of S0, we can prove that the depth of the homogeneous components of M is constant for degrees in a subnet of a cone of N^r defined by g1,.,gr. In some cases we can assure constant depth in all the cone. By considering the multigraded blow-up algebras associated to ideals I1,.,Ir in a Noetherian local ring (R,m), we can prove that the depth of R/I1^n1.Ir^nr is constant for n1,.,nr large enough. In Chapter 4, we study the depth of (a,b)-Veronese modules for a, b large enough. In particular we prove that in almost-standard case (i.e. the degrees of the generators are positive multiples of the canonical basis) with S0 a quotient of a regular local ring, this depth is constant for a, b in some regions of N^r. To reach this result we need a previous study about Veronese modules and about the vanishing of local cohomology modules. In particular we prove that, in the more general case, if S0 is a quotient of a regular local ring, the generalized depth is invariant by taking Veronese transforms. Moreover in the almost-standard case the generalized depth coincides with the index of finite graduation of the local cohomology modules with respect to the homogeneous maximal ideal. A second goal of the thesis is the study of the depth of blow-up algebras associated to an ideal. In Chapter 5 we obtain refined versions of some conjectures on the depth of the associated graded ring of an ideal. By using certain non-standard bigraded structures, the integers that appear in Guerrieri's Conjecture and in Wang's Conjecture can be interpreted as a multiplicities of some bigraded modules. In particular we have given an answer to the question formulated by A. Guerrieri and C. Huneke in 1993. We have proved that given an m-primary ideal I in a Cohen-Macaulay local ring (R,m) of dimension d>0 with minimal reduction J, assuming that the lengths of the homogeneous components of the Valabrega-Valla module of I and J are less than or equal to 1, then the depth of the associated graded ring of I is greater than or equal to d-2. Finally, in Chapter 6, the study of the Hilbert function of certain submodules of the bigraded modules studied before, allows us to prove some cases in which the Hilbert function of an m-primary ideal in a one-dimensional Cohen-Macaulay local ring is non-decreasing.
Algunos resultados sobre cohomología de las variedades kählerianas
(Universitat de Barcelona, 1971-04-30) Girbau i Badó, Joan; Vaquer i Timoner, Josep, 1928-2020; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[spa] En esta tesis doctoral se desarrollan diferentes propuestas sobre la cohomología de las variedades kählerianas, tomando como origen una variedad kähleriana “W” compacta y de dimensión compleja “n”. La tesis comienza con una breve introducción en la que se ofrecen los enunciados de los resultados obtenidos en la tesis y se sitúan en el marco de los trabajos anteriormente publicados, para pasar a continuación al articulado propiamente dicho, formado por tres capítulos. En el primero se exponen una serie de puntos preliminares, que se complementan con los cálculos necesarios para el desarrollo de las hipótesis (Capítulo II) y que culminan con la presentación detallada de los resultados en el capítulo III. La tesis finaliza con un apartado de Bibliografía en el que se hace mención del soporte científico manejado por el autor.
Moduli spaces of vector bundles on algebraic varieties
(Universitat de Barcelona, 1998-09-01) Costa Farràs, Laura; Miró-Roig, Rosa M. (Rosa Maria); Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] his thesis seeks to contribute to a deeper understanding of the moduli spaces M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) of rank r, H-stable vector bundles E on an n-dimensional variety X, with fixed Chern classes c-sub1(E) = csub1 H-super2i ( X , Z) , displaying new and interesting geometric properties of M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) which nicely reflect the general philosophy that moduli spaces inherit a lot of .geometrical properties of the underlying variety X. More precisely, we consider a smooth, irreducible, n-dimensional, projective variety X defined over an algebraically closed field k of characteristic zero, H an ample divisor on X, r >/2 an integer and c-subi H-super2i(X,Z) for i = 1, .,min{r,n}. We denote by M-sub X, H (r; c1,., Cmin{r;n}) the moduli space of rank r, vector bundles E on X, H-stable, in the sense of Mumford-Takemoto, with fixed Chern classes c-subi(E) = c-subi for i = 1, . , min{r, n}. The contents of this Thesis is the following: Chapter 1 is devoted to provide the reader with the general background that we will need in the sequel. In the first two sections, we have collected the main definitions and results concerning coherent sheaves and moduli spaces, at least, those we will need through this work. The aim of Chapter 2 is to establish the enterions of rationality for moduli spaces of rank two, it-stable vector bundles on a smooth, irreducible, rational surface X that will be used as one of our tools for answering Question (1), who is that follows: "Let X be a smooth, irreducible, rational surface. Fix C-sub1 Pic(X) and 0 « c2 Z. Is there an ample divisor H on X such that M-sub X,H(2; Ci, c2) is rational?" In Chapter 3 we prove that the moduli space M-sub X,H(2; Ci, c2) of rank two, H-stable, vector bundles E on a smooth, irreducible, rational surface X, with fixed Chern classes C-sub1(E) = C-sub1 Pic(X) and 0 « C-sub2«(E) Z is a smooth, irreducible, rational, quasi-projective variety (Theorem 3.3.7) which solves Question (1). In Chapter 4 we study moduli spaces (M-sub X,H(2; Ci, c2)) of rank r, H-stable vector bundles on either minimal rational surfaces or on algebraic K3 surfaces. In Chapter 5 we deal with moduli spaces M-sub x,l (2;Ci,C2) of rank two, L-stable vector bundles E, on P-bundles of arbitrary dimension, with fixed Chern classes.
Homotopical Aspects of Mixed Hodge Theory
(Universitat de Barcelona, 2012-06-23) Cirici, Joana; Guillén Santos, Francisco; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] In the present work, we analyse the categories of mixed Hodge complexes and mixed Hodge diagrams of differential graded algebras in these two directions: we prove the existence of both a Cartan-Eilenberg structure, via the construction of cofibrant minimal models, and a cohomological descent structure. This allows to interpret the results of Deligne, Beilinson, Morgan and Navarro within a common homotopical framework. In the additive context of mixed Hodge complexes we recover Beilinson's results. In our study we go a little further and show that the homotopy category of mixed Hodge complexes, and the derived category of mixed Hodge structures are equivalent to a third category whose objects are graded mixed Hodge structures and whose morphisms are certain homotopy classes, which are easier to manipulate. In particular, we obtain a description of the morphisms in the homotopy category in terms of morphisms and extensions of mixed Hodge structures, and recover the results of Carlson [Car80] in this area. As for the multiplicative analogue, we show that every mixed Hodge diagram can be represented by a mixed Hodge algebra which is Sullivan minimal, and establish a multiplicative version of Beilinson's Theorem. This provides an alternative to Morgan's construction. The main difference between the two approaches is that Morgan uses ad hoc constructions of models à la Sullivan, specially designed for mixed Hodge theory, while we follow the line of Quillen's model categories or Cartan-Eilenberg categories, in which the main results are expressed in terms of equivalences of homotopy categories, and the existence of certain derived functors. In particular, we obtain not only a description of mixed Hodge diagrams in terms of Sullivan minimal algebras, but we also have a description of the morphisms in the homotopy category in terms of certain homotopy classes, parallel to the additive case. In addition, our approach generalizes to broader settings, such as the study of compactificable analytic spaces, for which the Hodge and weight filtrations can be defined, but do not satisfy the properties of mixed Hodge theory. Combining these results with Navarro's functorial construction of mixed Hodge diagrams, and using the cohomological descent structure defined via the Thom-Whitney simple, we obtain a more precise and alternative proof of that the rational homotopy type, and the rational homotopy groups of every simply connected complex algebraic variety inherit functorial mixed Hodge structures. As an application, and extending the Formality Theorem of Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan for compact Kähler varieties and the results of Morgan for open smooth varieties, we prove that every simply connected complex algebraic variety (possibly open and singular) and every morphism between such varieties is filtered formal: its rational homotopy type is entirely determined by the first term of the spectral sequence associated with the multiplicative weight filtration.
Camps de Killing en varietats semiriemannianes
(Universitat de Barcelona, 1986-01-01) Fossas Colet, Enric; Currás Bosch, Carlos; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[cat] RESUM: Aquesta tesi s’organitza segons l’esquema per capítols següent: El capítol primer va encaminat a presentar el teorema de descomposició de de Rham-Wu, que estén, al cas semiriemannià, el conegut teorema de descomposició de de Rham. La demostració que donem és de Wu (W.1) i és inspirada en el fet que les transformacions de curvatura i les seves derivados caracteritzen una varietat. El començament del capítol segon és un recull de resultats que necessitarem posteriorment. Així s'introdueix la forma de Cartan-Killing (algú pot pensar que ens hem pres una Ilicéncia massa agosarada anomenant-la així), i s'exposen els rudiments sobre isometries infinitesimals. Tot aixó permet de donar una generalització del teorema de Kostant i d'estudiar el comportament de l'ope rador A(X), associat a un camp de Killing X, en varietats de curvatura constant, tant si la constant val zero com si no val zero. En el capítol primer ja comentem que les varietats irreduïbles resulten insuficients en el cas semiriemanniá. Fan falta, a més, varietats que tinguin subespais de l'espai tangent, degenerats, invariants per l'acció del grup d'holonomia. D'aquestes en diem varietats gairebé irreduïbles seguint la notació de Wu. El capítol tercer és dedicat a estudiar d'entre aquestes varietats, aquelles que, a mes, siguin de Lorentz. Cal destacar que aqüestes darreres son proveïdes d'una foliació de dimensió 1 (conseqüentment, també una de codimensió 1) paral.lela, en la direcció d'un camp vectorial de norma zero. El capítol quart és dedicat a estudiar les possibles àlgebres d'holonomia de varietats de dimensió menor o igual que cinc, que siguin de Lorentz i gairebé irreduibles localment. Tot aixó va encaminat a escatir el caracter holónom o no holónom deis camps de Killing sobre aquestes varietats. Tant en el capítol anterior com en aquest, donem exemples de varietats de Lorentz gairebé irreduïbles. Un d'ells és, a mes, una varietat compacta i és proveit d'un camp de Killing no holónom. Finalment, el capítol cinqué conté generalitzacions d'aquests exemples, així com del teorema de Kostant, ja comentada en el capítol segon. També conté aplicacions d'aquests teoremes quan el tensor de Ricci de la varietat satisfà condicions prou bones.
Adams Representability in Triangulated Categories
(Universitat de Barcelona, 2011-03-18) Raventós Morera, Oriol; Casacuberta, Carles; Universitat de Barcelona. Departament d'Àlgebra i Geometria
[eng] This thesis contains new results about the representability of cohomological functors defined on a subcategory of compact objects (with respect to a fixed cardinal) of a well generated triangulated category. Classical theorems of Adams for the stable homotopy category and Neeman for compactly generated triangulated categories are extended to the first uncountable cardinal. The case of derived categories of rings and the stable motivic category are studied in detail. These results contribute to answering negatively a question raised by Rosický of whether all cohomological functors defined on a subcategory of compact objects with respect to a large enough cardinal are representable. Some of the findings in this thesis are based on new results about abelian categories, the most relevant being a generalization of the Auslander Lemma for non Grothendieck categories.

Examinar

Enviaments recents