Teoremes de completesa en lògiques basades en t-normes contínues

Abstract

En aquest Treball de Final de Grau, tractem les lògiques basades en t-normes contı́nues com a lògiques multivalorades que prenen valors a l’interval real [0,1]. Introduim els exemples bàsics d’aquest tipus de lògiques: la lògica de Gödel, la lògica de Lukasiewicz i la lògica producte. A més, definim la lògica bàsica fuzzy com la lògica de totes les t-normes contı́nues. Petr Hájek a [12] va presentar el càlcul BL de tipus Hilbert per ser complet respecte la lògica bàsica, però no en demostrà la seva completesa. Aquesta demostració es pot trobar a [4]. Aquest treball pretén mostrar els passos per obtenir la completesa del càlcul BL respecte la lògica de totes les t-normes contı́nues. Per a aquesta demostració, necessitem primer obtenir els teoremes de completesa de les lògiques de Gödel, Lukasiewicz i producte.

In this Final Degree Project, we deal with the logics based in continuous t-norms as many-valued logics with values in the real interval [0,1]. We introduce the basic examples of these kinds of logics: Gödel logic, Lukasiewicz logic and product logic. Furthermore, we define the basic fuzzy logic as the logic of all the continuous t-norms. Petr Hájek, in [12], presented the Hilbert calculus BL to be complete with respect to the basic logic, but he did not prove its completeness. This proof is in [4]. This project wants to show the steps to get the BL calculus completeness with respect to the logic of all the continuous t-norms. To get this proof, we need to obtain the completeness theorems for Gödel, Lukasiewicz and product logics.