Els teoremes de Myers-Bonnet i de Cartan-Hadamard

Abstract

[en] This work aims to study the relationship between the geometry and topology of Riemannian manifolds through two classic results in global differential geometry: the Myers-Bonnet and Cartan-Hadamard theorems. Starting from basic concepts such as Riemannian metrics, connections, curvature or geodesics, the necessary tools are developed to analyse how local conditions on curvature influence the global behaviour of the manifold. In this context, variations of curves and Jacobi fields are introduced allowing for the formulation of comparison theorems and the study of the appearance of conjugate points. From these results, it is shown that a positive lower bound on the Ricci curvature implies the compactness of the manifold and the finiteness of its fundamental group, whereas the non-positivity of the sectional curvature guarantees that the manifold admits $\mathbb{R}^n$ as a universal covering space. Overall, this work shows how local geometric properties can determine the global topological structure of Riemannian manifolds.

[ca] Aquest treball té com a objectiu estudiar la relació entre la geometria i la topologia de les varietats de Riemann a través de dos resultats clàssics de la geometria diferencial global: els teoremes de Myers-Bonnet i de Cartan-Hadamard. Partint dels conceptes bàsics com la mètrica de Riemann, les connexions, la curvatura o les geodèsiques, es construeixen les eines necessàries per analitzar com condicions locals sobre la curvatura influeixen en el comportament global de la varietat. En aquest context, s’introdueixen les variacions de corbes i els camps de Jacobi, que permeten formular teoremes de comparació i estudiar l’aparició de punts conjugats. A partir d’aquests resultats, es demostra que una cota inferior positiva de la curvatura de Ricci comporta la compacitat de la varietat i la finitud del seu grup fonamental, mentre que la no positivitat de la curvatura sectional garanteix que la varietat admeti $\mathbb{R}^n$ com a recobridor universal. En conjunt, el treball mostra com propietats geomètriques locals poden determinar l’estructura topològica global de les varietats de Riemann.