The mathematical structure of the Poisson process

Abstract

This thesis explores Poisson processes as fundamental models for random, independent events occurring over time or space. After introducing their core properties, including the Poisson distribution and spatial independence, we develop key theoretical results: the Superposition, Mapping, and Existence Theorems. The work then presents essential analytical tools like Campbell’s and Rényi’s theorems for studying these processes. Together, these provide a complete framework for modeling systems where events occur unpredictably but with consistent average rates.

Aquesta tesi explora els processos de Poisson com a models fonamentals per a esdeveniments aleatoris i independents que tenen lloc al llarg del temps o en l’espai. Després d’introduir-ne les propietats bàsiques, incloent-hi la distribució de Poisson i la independència espacial, es desenvolupen resultats teòrics clau: els teoremes de Superposició, de Mapeig i d’Existència. A continuació, es presenten eines analítiques essencials com els teoremes de Campbell i de Rényi per a l’estudi d’aquests processos. En conjunt, aquests elements ofereixen un marc complet per modelar sistemes en què els esdeveniments es produeixen de manera imprevisible però amb una taxa mitjana constant.