El método de Newton como sistema dinámico discreto y continuo

Abstract

[en] Newton’s method is a classical technique to approximate roots of functions, whose effectiveness has made it a fundamental tool in both numerical analysis and complex dynamics. This paper studies Newton’s method applied to polynomials, both in its discrete version, treating it as a rational function, and its continuous version, established by Newton’s flow, to which the qualitative theory of differential equations can be applied. The well-known property that the basins of attraction of the discrete method are not bounded on the Riemann sphere is also reviewed. Motivated by this fact, the question is raised whether this property is preserved in the continuous case. To address this question, we examine the flow associated with the continuous Newton method and analyse its behaviour around the polynomial roots, critical points and infinity. Finally, it is rigorously shown that the basins of attraction are also unbounded in this version.

[ca] El mètode de Newton és una tècnica clàssica per a l’aproximació d’arrels de funcions, l’eficàcia de les quals l’ha convertit en una eina fonamental tant en l’anàlisi numèrica com en la dinàmica complexa. En aquest treball s’estudia el mètode de Newton aplicat a polinomis, tant en la seva versió discreta, en tractar-la com una funció racional, com en la versió contínua, establerta pel flux de Newton, a la qual se li pot aplicar la teoria qualitativa d’equacions diferencials. També es revisa la coneguda propietat que les conques d’atracció del mètode discret són no acotades en l’esfera de Riemann. Motivats per aquest fet, es planteja la qüestió de si aquesta propietat es conserva en el cas continu. Per a abordar-la, s’examina el flux associat al mètode de Newton continu i s’analitza el seu comportament en un entorn de les arrels del polinomi, els punts crítics i l’infinit. Finalment, es demostra rigorosament que les conques d’atracció també són no acotades en aquesta versió.