Models i anàlisi de la volatilitat en la valoració d'opcions financeres

Abstract

Aquest treball analitza els models matemàtics aplicats a l’anàlisi de la volatilitat financera, que és un element clau en la valoració de derivats i la gestió del risc, enfocant-se principalment en el model de Black-Scholes i el model de Heston. S’introdueixen els conceptes financers i matemàtics clau per establir les bases del treball, com ara els derivats financers i els processos estocàstics. Seguidament, es presenta el model de Black-Scholes, que és molt conegut per la seva simplicitat i utilitat en la valoració d’opcions. També s’analitzen les seves limitacions per capturar certs fenòmens de mercat al suposar que la volatilitat és constant. Per superar aquestes limitacions, s’estudia el model de Heston, que introdueix la volatilitat estocàstica i és capaç de descriure patrons més complexos observats als mercats reals. A través d’un exemple pràctic, es valida l’eficàcia del model de Heston en l’anàlisi financera. Els resultats obtinguts reflecteixen el potencial d’aquests models matemàtics per comprendre millor els mercats i per ajudar als inversors a prendre decisions més fonamentades.

This project examines mathematical models used to analyze financial volatility—an essential component in derivative pricing and risk management—with a particular emphasis on the Black-Scholes and Heston models. To provide a solid foundation for the study, key financial and mathematical concepts, such as financial derivatives and stochastic processes, are thoroughly explored. The Black-Scholes model, distinguished for its simplicity and practical application in option pricing, is then discussed, along with its limitations in accounting for market phenomena due to the assumption of constant volatility. To address these shortcomings, the Heston model is introduced, offering a framework for stochastic volatility that captures more complex patterns observed in real-world markets. A practical case study illustrates the effectiveness of the Heston model in financial analysis. The findings underscore the potential of these mathematical approaches to enhance market understanding and support more informed investment decisions.