The expected signature approach for financial time series forecasting

Abstract

In recent years, rough path theory, which models the interactions between highly oscillatory and non linear systems, has emerged as a prominent topic in mathematical finance. The study builds upon the concept of the signature of a path, a mathematical object introduced by Terry Lyons in his foundational works on rough path theory ([14] and [13]). In this work, we bring this theory to a particular model called Expected Signature (ES) model, presented in [3], which utilizes the signature of a path to perform regression between stochastic paths, treating them as input and output variables, to identify the functional that relates this variables. It involves defining the expected signature as an element within a probability space to establish the conditional distribution of the dependent response, facilitating regression-based forecasting. Key theoretical foundations behind the construction of the ES model are established during the thesis, including the critical theorem that linear functionals can approximate continuous functions over compact sets of bounded variation paths. This means the ES model can effectively transform intricate relationships within the data into linear ones. As a result, the model can make more reliable and accurate predictions. A case study validates the ES model’s practical application by showing its potential to outperform traditional time series models like ARIMA in certain scenarios.

En els darrers anys, la teoria dels camins accidentats (rough paths), que modela les interaccions entre sistemes altament oscil·latoris i no lineals, ha sorgit com un tema destacat en investigació i recerca a l’àmbit de la matemàtica financera. L’estudi es basa en el concepte de la signatura d’un camí, un objecte matemàtic introduït per Terry Lyons en les seves petjades inicials al voltant d’aquesta teoria ([14] i [13]). En aquest treball, portem aquesta teoria a un model particular anomenat model de la Signatura Esperada (model ES), presentat a [3], que utilitza la signatura d’un camí per fer regressió entre camins estocàstics, tractant-los com a variables d’entrada i sortida, per identificar el funcional que relaciona aquestes variables. Es tracta de definir la signatura esperada com a un element dins d’un espai de probabilitat per establir la distribució condicional de la resposta dependent, facilitant la previsió de futures dades a partir d’un model de regressió. Durant la tesi s’estableixen els fonaments teòrics clau subjacents a la construcció del model ES, inclòs el crític teorema que estableix que els funcionals lineals poden aproximar funcions contínues sobre conjunts compactes de trajectòries de variació acotades. Fet que significa que el model ES pot transformar eficaçment les relacions intrínseques de les dades en relacions lineals i, com a resultat, fer prediccions més fiables i precises. Un estudi de cas final valida l’aplicació pràctica del model ES mostrant-ne el potencial per superar, en determinades situacions, models tradicionals de sèries temporals, com el model SARIMA.