Moduli spaces of stable bundles, prioritary bundles and Brill–Noether Theory

Abstract

[eng] In this thesis, we primarily consider moduli spaces of slope-stable vector bundles with fixed rank and Chern classes, with a particular focus on Brill-Noether theory, and wall-and-chamber structures. As well, we will focus on the closely related class of prioritary vector bundles, which are characterized by specific cohomological properties. The first main part of the thesis addresses Brill-Noether theory of stable vector bundles on ruled surfaces over a smooth irreducible curve. In this context, Brill-Noether loci are defined as subvarieties of the moduli space that parametrize stable bundles with a prescribed number of global sections. General results on the existence of these loci are known, but their geometry remains largely unexplored beyond the curve case. We obtain new results on the non-emptiness of Brill-Noether loci of stable rank two vector bundles on ruled surfaces. A second line of investigation focuses on the construction of higher-rank prioritary vector bundles on ruled surfaces, which is the subject of Chapter 3. Using extension techniques, generalized Cayley-Bacharach properties and inductive constructions, we construct simple prioritary bundles of arbitrary rank with many global sections. These constructions provide explicit families of vector bundles that play an important role in the study of moduli spaces. The third main theme of the thesis is the study of moduli spaces of stable bundles on varieties of dimension greater than or equal to three. In Chapter 4, we introduce a modified wall-and-chamber theory that overcomes the limitations that other theories have in higher dimension. This new framework allows us to compare moduli spaces associated with different polarizations and to study their decomposition across walls. Applying this theory in Chapter 5, we investigate moduli spaces of stable rank two vector bundles on ruled threefolds over IP'2. We describe the wall-and-chamber structure explicitly, analyze the decomposition of moduli spaces, and identify rational components in certain cases. Finally, we apply these results to prove the non-emptiness of several Brill-Noether loci.

[cat] L’objectiu d’aquesta tesi ´es estudiar l’espai de moduli de fibrats de rang 2 estables respecte d’un divisor ampli fixat. En particular, s’estudiaria la seva geometria en funció de les subvarietats anomenades llocs de Brill-Noether i, mitjançant la teoria de parets i càmeres, s’analitzarà com depèn l’espai de moduli de la polarització fixada per definir l’estabilitat dels fibrats. A part estudiem els fibrats prioritaris, que són fibrats definits a partir de condicions cohomològiques específiques. La primera part de la tesi es centra en la teoria de Brill–Noether per a fibrats vectorials estables de rang 2 sobre superfícies reglades sobre una corba llisa i irreductible. En aquest context, els llocs de Brill–Noether es defineixen com subvarietats de l’espai de moduli que parametritzen fibrats estables amb un nombre determinat de seccions globals. Es coneixen resultats generals sobre l’existència d’aquestes subvarietats, però la seva geometria continua sent for，ca inexplorada més enllà del cas en el que la varietat subjacent és una corba. Obtenim principalment resultats sobre quan aquests llocs de Brill–Noether són no buits i, a més, estudiem la seva dimensió, irreductibilitat i llisitut. Una segona línia de recerca se centra en la construcció de fibrats vectorials prioritaris de rang superior sobre superfícies reglades, que ´es l’objectiu del Capítol 3. De la mateixa manera que restringim el conjunt de fibrats imposant una condició d’estabilitat, també es poden imposar condicions cohomológiques. Els fibrats prioritaris es defineixen a partir de condicions cohomològiques, però en el context de superfícies reglades, també estan relacionats amb els fibrats estables. Utilitzant extensions de fibrats, una generalització de la propietat de Cayley–Bacharach i construccions inductives, construïm fibrats prioritaris i simples de rang arbitrari amb moltes seccions globals. Aquestes construccions ens donen famílies explícites de fibrats prioritaris que a més tenen un paper important en l’estudi dels espais de moduli. El tercer tema principal de la tesi és l’estudi dels espais de moduli de fibrats estables de rang 2 sobre varietats de dimensió major o igual a tres. En el Capítol 4, introduïm una teoria de parets i cambres que permet estudiar aquests espais de moduli quan la varietat base és de dimensió superior, cas que presentava obstacles aplicant altres teories existents en la literatura. Gràcies a la teoria de parets i cambres que desenvolupem, podem comparar espais de moduli diferents a partir de les polaritzacions sobre les quals es té l’estabilitat, així com estudiar la seva descomposició a través de l’estructura de parets. Aplicant aquesta teoria, en el Capítol 5 estudiem espais de moduli de fibrats vectorials estables de rang 2 sobre varietats reglades de dimensió 3 construïdes sobre P2. Donem una descripció explícita de l’estructura de parets i cambres en aquest context, amb la qual podem determinar la descomposició en components d’alguns espais de moduli. Finalment, com a conseqüència d’aquests resultats, obtenim aplicacions a la teoria de Brill–Noether en aquest context, determinant casos en els que aquestes subvarietats són no buides.