Acerca del género virtual de las superficies algebraicas

Abstract

[spa] DE LA TESIS:

El problema objeto de esta memoria tiene su origen en la clásica formula del género para curvas algebraicas planas. Dicha formula expresa el género (efectivo) de una curva algebraica plana en función de su género virtual (o aritmético según algunos autores) y de un término dependiente de las singularidades de la curva.

Es bien sabido que los géneros virtual y efectivo de una curva no singular coinciden, de modo que el género efectivo de una curva cualquiera, al ser un invariante birracional, puede entenderse como el género virtual de su modelo no singular. Si se escribe la fórmula del género en la forma g = p + delta donde "g" es el género efectivo y "p" el género virtual, "delta" puede interpretarse como la diferencia entre el género virtual del modelo no singular y el de la propia curva

El mismo problema puede considerarse para superficies algebraicas si bien el proceso de desingularización de una superficie no es tan sencillo como el de una curva: siguiendo a Zariski, sabemos que puede alcanzarse un modelo no singular de una superficie "S" mediante sucesivas normalizaciones y transformaciones cuadráticas centradas en puntos múltiples. Aun en el caso de una superficie normal, al efectuar una transformación cuadrática centrada en un punto múltiple, puede obtenerse una superficie no normal (por existir una curva múltiple en el primer entorno, por ejemplo). Parece pues justificado realizar un estudio de la variación experimentada por el género virtual en el proceso de normalización y tal es el tema de esta tesis.