Tipus de document
Treball de fi de grauData de publicació
Llicència de publicació
Si us plau utilitzeu sempre aquest identificador per citar o enllaçar aquest document: https://hdl.handle.net/2445/231824
L'equació d'ones: una guia per al jove matemàtic a l'orquestra
Títol de la revista
Autors
Director/Tutor
Contribució addicional
ISSN de la revista
Títol del volum
Resum
[eng] This bachelor’s thesis explores the mathematical foundations and physical applications of the wave equation as a fundamental tool for understanding the acoustics of orchestral instruments. The work is structured in three parts, progressing from the theory of partial differential equations (PDEs) to the mathematical modeling of musical instruments.
First, the one-dimensional wave equation is introduced through its derivation from a vibrating string. Fundamental properties such as existence, uniqueness, stability, and the effects of friction are established, and classical solution methods including d’Alembert’s formula, separation of variables, and Duhamel’s principle are presented.
Second, the study extends to higher dimensions using the Spectral Theorem for the Dirichlet Laplacian and Hilbert bases. Solutions on circular and spherical domains lead naturally to Bessel functions and spherical harmonics. The relationship between geometry and vibration spectra is examined through different boundary conditions and the inverse problem “Can one hear the shape of a drum?”.
Finally, the theoretical framework is applied to three major families of orchestral instruments. Percussion instruments are modeled through membrane and beam vibrations, wind instruments through the wave equation and Webster’s horn equation, and string instruments through the classical model of a vibrating string with fixed endpoints.
Overall, this work illustrates how advanced mathematical analysis connects abstract PDE theory with the physical mechanisms underlying musical sound production.
[cat] Aquest treball final de grau explora els fonaments matemàtics i les aplicacions físiques de l’equació d’ones com a eina fonamental per a la comprensió de l’acústica dels instruments orquestrals. El treball s’estructura en tres parts, avançant des de la teoria de les equacions en derivades parcials (EDP) fins al modelatge matemàtic d’instruments musicals.
En primer lloc, s’introdueix l’equació d’ones unidimensional a partir de la seva derivació des d’una corda vibrant. S’estableixen propietats fonamentals com l’existència, la unicitat, l’estabilitat i els efectes de la fricció, i es presenten mètodes clàssics de resolució, incloent-hi la fórmula d’Alembert, la separació de variables i el principi de Duhamel.
En segon lloc, l’estudi s’estén a dimensions superiors mitjançant el teorema espectral del laplacià de Dirichlet i les bases de Hilbert. Les solucions en dominis circulars i esfèrics condueixen de manera natural a les funcions de Bessel i als harmònics esfèrics. La relació entre la geometria i l’espectre de vibració s’examina a través de diferents condicions de contorn i del problema invers “Es pot sentir la forma d’un tambor?”.
Finalment, el marc teòric s’aplica a tres grans famílies d’instruments orquestrals. Els instruments de percussió es modelitzen mitjançant les vibracions de membranes i bigues, els instruments de vent mitjançant l’equació d’ones i l’equació de la trompa de Webster, i els instruments de corda mitjançant el model clàssic d’una corda vibrant amb extrems fixos.
En conjunt, aquest treball il·lustra com l’anàlisi matemàtica avançada connecta la teoria abstracta de les EDP amb els mecanismes físics subjacents a la producció del so musical.
Descripció
Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2026, Director: Tomás Sanz Perela
Recurs relacionat
Citació
Col·leccions
Citació
VALLÈS MARTÍNEZ, Pau. L'equació d'ones: una guia per al jove matemàtic a l'orquestra. [consulted: 24 of October of 2026]. Available at: https://hdl.handle.net/2445/231824