Encabiments Isomètrics $C^1$ i $C^{\infty}$ en $\mathbb{R}^n$

Abstract

Aquest treball tracta sobre encabiments (embeddings) isomètrics de varietats riemannianes en espais euclidians, parant especial atenció a la flexibilitat que s'obté en relaxar la condició de regularitat $C^{\infty}$ a $C^1$. Amb aquesta finalitat, es presenta la demostració del teorema d'encabiments isomètrics de Nash tal com apareix en [1], que afirma que per a qualsevol encabiment $C^{\infty}$ curt d'una varietat riemanniana de dimensió $n$ en un espai euclidià de dimensió $n+k, \operatorname{amb} k \geq 2$, existeix un encabiment isomètric $C^1$ arbitràriament proper a l'encabiment original. També es presenta la millora de Kuiper [2] que baixa la codimensió a $k \geq 1$.

Per il-lustrar la rigidesa dels encabiments $C^{\infty}$, es demostra el resultat clàssic de la inexistència d'encabiments isomètrics $C^{\infty}$ en $\mathbb{R}^3$ d'un tor pla, i es demostra a partir de l'article de Schwartz [3] una mida mínima per què una cinta de Möbius es pugui encabir isomètricament i $C^{\infty}$ en un espai euclidià de dimensió 3 . Per l'altra banda, es mostra la flexibilitat dels encabiments $C^1$ amb la construcció explícita d'un encabiment isomètric $C^1$ d'un tor pla amb l'article de Borrelli et al. [4]. Aquesta darrera construcció està directament relacionada amb el teorema de Nash-Kuiper i utilitza mètodes d'integració convexa.

This work deals with isometric embeddings of riemannian manifolds in euclidean spaces, paying special attention to the flexibility obtained by relaxing the $C^{\infty}$ regularity condition to $C^1$. To this end, the proof of Nash's isometric embedding theorem is presented as it appears in [1], stating that for any short $C^{\infty}$ embedding of an $n$-dimensional riemannian manifold in a euclidean space of dimension $n+k$, with $k \geq 2$, there exists a $C^1$ isometric embedding that is arbitrarily close to the original embedding. The improvement by Kuiper [2], which lowers the codimension to $k \geq 1$, is also presented.

To illustrate the rigidity of $C^{\infty}$ embeddings, this work demonstrates the classic result of the non-existence of $C^{\infty}$ isometric embeddings of flat tori in $\mathbb{R}^3$. Furthermore, drawing from Schwartz [3], we will derive the minimum aspect ratio required for a Möbius strip to admit a $C^{\infty}$ isometric embedding in 3 -dimensional euclidean space. On the other hand, the flexibility of $C^1$ embeddings is showcased through the explicit construction of a $C^1$ isometric embedding of a flat torus in $\mathbb{R}^3$, following the work of Borrelli et al. [4]. This latter construction is directly related to the Nash-Kuiper theorem and employs convex integration methods.