Valoració de derivats financers: el model de Black-Scholes

Abstract

[ca] En aquest treball s’estudia la valoració de derivats financers en temps continu, amb especial atenció al model de Black-Scholes. Després d’una introducció als conceptes bàsics dels mercats financers i dels instruments derivats, es desenvolupen els fonaments probabilístics i analítics necessaris, incloent-hi la teoria de variables aleatòries contínues, processos estocàstics i el moviment brownià. Es presenta el càlcul estocàstic d’Itô i s'analitzen propietats fonamentals com la variació quadràtica, que permeten entendre la dinàmica diferencial dels processos aleatoris. En aquest marc, es construeix rigorosament el model de Black-Scholes a partir d’una equació diferencial estocàstica que descriu l’evolució del preu de l’actiu subjacent com un moviment brownià geomètric. Mitjançant arguments de replicació i absència d’arbitratge, es dedueix l’equació en derivades parcials de Black-Scholes i s’en resol explícitament la solució per a opcions europees de tipus call, obtenint la forma clàssica de valoració. A partir de la paritat Call-Put, es deriva també el preu de les opcions put. Finalment, s’introdueix el Teorema Fonamental de l’Asset Pricing com a marc general de valoració per esperances sota mesures neutres al risc, i s’analitza el model de Constant Elasticity of Variance (CEV) com una generalització del model de Black-Scholes. En absència de fórmules tancades, es presenta el mètode de Monte Carlo com una eina numèrica per aproximar el preu dels derivats.

[en] This thesis studies the valuation of financial derivatives in continuous time, with particular emphasis on the Black-Scholes model. After an introduction to the basic concepts of financial markets and derivative instruments, the necessary probabilistic and analytical foundations are developed, including the theory of continuous random variables, stochastic processes, and Brownian motion. Stochastic calculus in the sense of Itô is presented, together with fundamental properties such as quadratic variation, which are essential for understanding the differential behavior of stochastic processes. Within this framework, the Black-Scholes model is rigorously constructed starting from a stochastic differential equation that describes the evolution of the underlying asset as a geometric Brownian motion. Through replication and no-arbitrage arguments, the Black-Scholes partial differential equation is derived and explicitly solved for European call options, yielding the classical pricing formula. The price of European put options is then obtained using put-call parity. Finally, the Fundamental Theorem of Asset Pricing is introduced as a general framework for valuation under risk-neutral measures, and the Constant Elasticity of Variance (CEV) model is analyzed as a generalization of the Black-Scholes model. When closed-form formulas are not available, the Monte Carlo method is presented as a numerical tool to approximate derivative prices.