La teoria de DiPerna-Lions per a l’equació lineal del transport

Abstract

S’estudia l’esquema presentat per R.J. DiPerna i P.L. Lions l’any 1989 per a demostrar l’existència i la unicitat de solucions de l’equació lineal del transport amb camp de velocitats en un espai de Sobolev i de divergència fitada, així com un contraexemple a la unicitat que palesa que certes hipòtesis no poden ser relaxades. S’examina també com s’estén aquesta teoria a l’equació de Fokker-Planck, tot obtenint-ne resultats anàlegs al cas del transport.

We study the work presented by R.J. DiPerna and P.L. Lions in 1989 to prove the existence and uniqueness of solutions to the linear transport equation with velocity field in a Sobolev space and bounded divergence, as well as a counterexample showing that certain assumptions cannot be relaxed. We also explore how this theory extends to the Fokker-Planck equation, obtaining analogous results to those in the transport case.