El teorema de Hasse-Minkowski

Abstract

En aquest treball es presenta una demostració del teorema de Hasse-Minkowski, que estableix un criteri perquè una forma quadràtica tengui solucions racionals no trivials. Aquest teorema es un exemple representatiu del principi local-global en teoria de nombres.

Es comença introduint els nombres $p$-àdics, eina fonamental per l'estudi local de solucions d'equacions polinòmiques. Es tracten des d'un punt de vista tant mètric com aritmètic. Seguidament, s'estudien les formes quadràtiques, posant un èmfasi al concepte d'isotropia. També s'obtenen alguns resultats generals sobre la isotropia en el cos de nombres $p$-àdics.

Després d'haver desenvolupat aquests preliminars, s'estudia el símbol de Hilbert i l'invariant de Hasse per acabar classificant les formes quadràtiques en $\mathbb{Q}_p$ equivalents. Finalment, es demostra el teorema de Hasse-Minkowski a partir de les eines presentades anteriorment. A més, es comparen les estratègies de demostració duites a terme per diversos autors.