Les aplicacions quasiconformes i el Teorema Mesurable de Riemann

Abstract

[eng] This thesis studies quasiconformal mappings and the Measurable Riemann Mapping Theorem, one of the fundamental results in the theory of quasiconformal mappings. The theorem guarantees the existence and uniqueness of a quasiconformal mapping associated with a measurable and uniformly bounded Beltrami coefficient.

The main goal of this dissertation is to present a detailed proof of this result. To achieve this, several preliminary tools from real, complex, functional and harmonic analysis are developed. In particular, Sobolev spaces and some results concerning weakly differentiable homeomorphisms are introduced, together with the Cauchy and Beurling integral transforms, which play a central role in the study of the Beltrami equation.

In addition, the basic theory of quasiconformal and quasisymmetric mappings is presented, with special emphasis on their analytic and geometric characterizations.

Finally, by combining the results developed throughout the thesis, a proof of the Measurable Riemann Mapping Theorem is obtained. The uniqueness of solutions is established through the Stoilow factorization theorem, which provides a structural description of the solutions to the Beltrami equation.

[cat] Aquest treball estudia les aplicacions quasiconformes i el Teorema Mesurable de Riemann, un dels resultats fonamentals de la teoria de les aplicacions quasiconformes. És un teorema que garanteix l’existència i la unicitat d’una aplicació quasiconforme associada a un coeficient de Beltrami mesurable i uniformement fitat.

L’objectiu principal de la memòria és presentar una demostració detallada d’aquest resultat. Per assolir-lo, es desenvolupen diverses eines prèvies d’anàlisi real, d’anàlisi complexa, d’anàlisi funcional, i d’anàlisi harmònica. En particular, s’introdueixen els espais de Sobolev i alguns resultats sobre homeomorfismes feblement diferenciables, així com les transformades integrals de Cauchy i de Beurling, que tenen un paper central en l’estudi de l’equació de Beltrami.

A més, es presenta la teoria bàsica de les aplicacions quasiconformes i quasisimètriques, incidint especialment en les seves caracteritzacions analítiques i geomètriques.

Finalment, mitjançant els resultats desenvolupats al llarg del treball, s’obté una demostració del Teorema Mesurable de Riemann. La unicitat de les solucions es dedueix a partir del teorema de factorització de Stoilow, que proporciona una descripció estructural de les solucions de l’equació de Beltrami.