Tipus de document
Treball de fi de grauData de publicació
Llicència de publicació
Si us plau utilitzeu sempre aquest identificador per citar o enllaçar aquest document: https://hdl.handle.net/2445/231746
Aplicacions del Teorema de Riemann-Roch en Superfícies Hiperel·líptiques
Títol de la revista
Autors
Director/Tutor
Contribució addicional
ISSN de la revista
Títol del volum
Resum
[eng] This thesis studies the applications of the Riemann-Roch Theorem to hyperelliptic Riemann surfaces. The main objective is to establish, based on the classical characterization and the central tools introduced, a new characterization of these surfaces in terms of plane algebraic curves.
The thesis is structured in three parts. First, the relationship between algebraic curves and Riemann surfaces is established through normalization, a construction that assigns to each irreducible plane curve a compact non-singular Riemann surface. Second, the Riemann-Roch Theorem is proved by following the Brill-Noether strategy, thereby establishing a correspondence between the topology of the surface and the algebraic structure of its divisors.
Finally, these results are applied to hyperelliptic surfaces. The classical characterization is analyzed, which describes them as Riemann surfaces of genus $g \geq 2$ admitting a degree $2$ morphism to $\mathbb{C}\infty$ and for which an explicit description of the canonical morphism is obtained as $\phi_K = v{g-1} \circ \pi$. However, the curve associated to this characterization, $y^2 = h(x)$ with $h$ a polynomial with simple roots and odd degree, has a non-ordinary singularity at infinity. This obstacle motivates the new characterization, which establishes that every hyperelliptic surface of genus $g$ is the normalization of a plane curve of degree $g+2$ with a unique ordinary singularity of multiplicity $g$.
[cat] Aquest treball estudia les aplicacions del Teorema de Riemann-Roch en les superfícies de Riemann hiperel·líptiques. L’objectiu és establir, a partir de la caracterització clàssica i de les eines centrals del treball, una nova caracterització d’aquestes superfícies en termes de corbes algebraiques planes.
El treball s’estructura en tres blocs. En primer lloc, s’estableix la relació entre corbes algebraiques i superfícies de Riemann a través de la normalització, construcció que associa a cada corba plana irreductible una superfície de Riemann compacta i no singular. En segon lloc, es demostra el Teorema de Riemann-Roch seguint l’estratègia de Brill-Noether per establir una correspondència entre la topologia de la superfície i l’estructura algebraica dels seus divisors.
Finalment, s’apliquen aquests resultats a les superfícies hiperel·líptiques. S’analitza la caracterització clàssica, que les descriu com a superfícies de Riemann de gènere $g \geq 2$ que admeten un morfisme de grau $2$ cap a $\mathbb{C}\infty$ per a les quals s’obté una descripció explícita del morfisme canònic com $\phi_K = v{g-1} \circ \pi$. Tanmateix, la corba associada a aquesta caracterització, $y^2 = h(x)$ amb $h$ un polinomi amb arrels simples i grau senar, presenta a l’infinit una singularitat no ordinària. Aquesta dificultat motiva la nova caracterització, que estableix que tota superfície hiperel·líptica de gènere $g$ és la normalització d’una corba plana de grau $g+2$ amb una única singularitat ordinària de multiplicitat $g$.
Descripció
Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2026, Director: Joan Carles Naranjo Del Val
Recurs relacionat
Matèries (anglès)
Citació
Col·leccions
Citació
LORA BONASTRE, Marta. Aplicacions del Teorema de Riemann-Roch en Superfícies Hiperel·líptiques. [consulted: 2 of October of 2026]. Available at: https://hdl.handle.net/2445/231746