De l’equació d’ones a la geometria espectral

Abstract

Aquest treball estudia la relació entre l’equació d’ones, les freqüències pròpies de vibració i la geometria del domini. Comencem amb el cas unidimensional de la corda vibrant amb extrems fixats, on la separació de variables porta de manera natural a les sèries de Fourier i a una interpretació musical en termes de freqüències, harmònics i espectre. Després generalitzem el problema a dominis de dimensió superior, on les freqüències pròpies venen determinades pels autovalors del Laplacià amb condicions de Dirichlet.

A partir d’aquesta formulació espectral, analitzem alguns exemples explícits, com rectangles i discs, i fem servir la llei de Weyl per veure que l’espectre conté informació geomètrica del domini, com ara l’àrea en el cas bidimensional. Finalment, arribem a la pregunta de Kac: fins a quin punt es pot recuperar la forma d’un tambor a partir de les seves freqüències pròpies? El treball presenta aquesta pregunta com a punt d’arribada del recorregut i explica que, tot i que l’espectre determina certes magnituds geomètriques i resol alguns casos particulars, en general no determina completament la forma del domini.