On the sheaf theoretic de Rham theorem and the Witten Laplacian

Abstract

The aim of this work is to establish a dialogue between topology, differential geometry, and certain modern developments in theoretical physics involving supersymmetry. First, the construction of the de Rham theorem is presented, followed by its proof through the elegant theory of sheaves, bringing forth algebraic invariants of the manifold derived from the properties of differential objects. Next, harmonic differential forms are studied using Hodge theory, demonstrating the main decomposition theorem as well as the existence and uniqueness of harmonic representatives in the de Rham cohomology groups. Finally, Witten’s ideas concerning supersymmetry preservation are discussed, and a proof of Morse inequalities is presented using Witten’s deformed Laplacian.

La intenció d’aquest treball és establir un diàleg entre la topologia, la geometria diferencial i alguns desenvolupaments moderns de la física teòrica que involucren supersimetria. Es presenta, primerament, la construcció del teorema de de Rham seguida de la corresponent demostració mitjançant l’elegant teoria de feixos, tot fent emergir invariants algebraics en la varietat a partir de propietats d’objectes diferencials. A continuació, s’estudien les formes diferencials harmòniques mitjançant la teoria de Hodge, demostrant-se el principal teorema de descomposició, així com l’existència i unicitat de representants harmònics als grups de cohomologia de de Rham. Finalment, es discuteixen les idees de Witten involucrant la preservació de la supersimetria, i es presenta una demostració de les desigualtats de Morse mitjançant el Laplacià deformat de Witten.