The mathematics of quantum amplitude estimation algorithm in quantum computing

Abstract

[en] This work establishes the mathematical and physical framework necessary to rigorously analyze the computational advantages of Quantum Amplitude Estimation (QAE) algorithm. We begin by defining the underlying linear algebra structures—specifically finite-dimensional Hilbert spaces, linear operators, and tensor products—to provide the necessary justification for Dirac notation via the Riesz-Fréchet representation theorem and to formulate the fundamental postulates of quantum mechanics. Building upon this theoretical basis, we theoretically demonstrate that QAE achieves a quadratic speedup over classical Monte Carlo methods, specifically reducing the query complexity required to achieve an additive error $\mathcal{O}(1/\sqrt{M})$ to $\mathcal{O}(1/M)$, where $M$ is the number of quantum samples. Furthermore, we analyze techniques to boost the success probability of the algorithm to arbitrary confidence levels. Finally, we apply this algorithmic framework to financial risk management to estimate the Value at Risk (VaR) and Economic Capital Requirement (ECR) of a credit portfolio.

[es] Este trabajo establece el marco matemático y físico necesario para analizar rigurosamente las ventajas computacionales del algoritmo de Estimación de Amplitud Cuántica (QAE). Comenzamos definiendo las estructuras subyacentes del álgebra lineal (específicamente los espacios de Hilbert de dimensión finita, los operadores lineales y los productos tensoriales) para proporcionar la justificación necesaria para la notación de Dirac mediante el teorema de representación de Riesz-Fréchet y para formular los postulados fundamentales de la mecánica cuántica. Con base en esta base teórica, demostramos teóricamente que QAE logra una aceleración cuadrática sobre los métodos clásicos de Monte Carlo, reduciendo específicamente la complejidad de la consulta requerida para lograr un error aditivo $\mathcal{O}(1/\sqrt{M})$ a $\mathcal{O}(1/M)$, donde $M$ es el número de muestras cuánticas. Además, analizamos técnicas para aumentar la probabilidad de éxito del algoritmo a niveles de confianza arbitrarios. Finalmente, aplicamos este marco algorítmico a la gestión del riesgo financiero para estimar el Valor en Riesgo (VaR) y el Requerimiento de Capital Económico (ECR) de una cartera de crédito.