Tipus de document
Treball de fi de grauData de publicació
Llicència de publicació
Si us plau utilitzeu sempre aquest identificador per citar o enllaçar aquest document: https://hdl.handle.net/2445/227693
From Simplicial Complexes to Barcodes: Foundations of Persistent Homology
Títol de la revista
Autors
Director/Tutor
ISSN de la revista
Títol del volum
Recurs relacionat
Resum
This work proves that, through the theory of persistent homology, one can fully and precisely encode all topological features of a point cloud using barcodes. It is also shown that these representations are stable under small data modifications; slight perturbations in the input produce only minor changes in the resulting barcode. To support these results, the theory of persistence modules is developed, along with complete proofs of two fundamental theorems: the Structure Theorem, which ensures the unique decomposition of persistence modules into barcodes, and the Stability Theorem, which bounds the variation of barcodes in terms of changes in the input data.
Aquest treball té com a objectiu demostrar que, mitjançant la teoria de l’homologia persistent, es poden codificar de manera completa i precisa totes les característiques topològiques d’un núvol de punts a través de codis de barres. També es mostra que aquestes representacions són estables davant petites modificacions en el núvol, és a dir, perturbacions lleus en les dades provocaran petits canvis en el codi de barres. Per fonamentar aquests resultats, es desenvolupa la teoria de mòduls de persistència i es desenvolupen les demostracions de dos teoremes fonamentals: el Teorema Estructural, que garanteix la descomposició única dels mòduls de persistència en codis de barres, i el Teorema d’Estabilitat, que acota la variació dels codis de barres en funció dels canvis en les dades inicials.
Aquest treball té com a objectiu demostrar que, mitjançant la teoria de l’homologia persistent, es poden codificar de manera completa i precisa totes les característiques topològiques d’un núvol de punts a través de codis de barres. També es mostra que aquestes representacions són estables davant petites modificacions en el núvol, és a dir, perturbacions lleus en les dades provocaran petits canvis en el codi de barres. Per fonamentar aquests resultats, es desenvolupa la teoria de mòduls de persistència i es desenvolupen les demostracions de dos teoremes fonamentals: el Teorema Estructural, que garanteix la descomposició única dels mòduls de persistència en codis de barres, i el Teorema d’Estabilitat, que acota la variació dels codis de barres en funció dels canvis en les dades inicials.
Descripció
Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2025, Director: Robert Cardona Aguilar
Matèries (anglès)
Citació
Col·leccions
Citació
RAFART MEDINA, Clàudia. From Simplicial Complexes to Barcodes: Foundations of Persistent Homology. [consulted: 10 of September of 2026]. Available at: https://hdl.handle.net/2445/227693