Tipus de document
Treball de fi de grauData de publicació
Llicència de publicació
Si us plau utilitzeu sempre aquest identificador per citar o enllaçar aquest document: https://hdl.handle.net/2445/231747
Regularity of Lipschitz domains in terms of their Poisson Kernel
Títol de la revista
Autors
Director/Tutor
Contribució addicional
ISSN de la revista
Títol del volum
Resum
[eng] We study the regularity of Lipschitz domains in terms of the regularity of their Poisson kernel. More precisely, we present a proof of the fact that if $\Omega$ is a bounded Lipschitz domain and its Poisson kernel is a positive $C^{k,\alpha}$ function, then $\partial\Omega$ is $C^{k+1,\alpha}$. The argument is based on the study of Lipschitz free boundaries for weak solutions of the Alt–Caffarelli problem. We prove optimal regularity and nondegeneracy estimates for weak solutions, establish an $\varepsilon$-regularity theorem, and study blow-ups at the free boundary using Weiss’ monotonicity formula. The Lipschitz geometry of the free boundary allows us to show that all blow-up limits are half-plane solutions, which implies the desired regularity of the free boundary.
[cat] Estudiem la regularitat dels dominis Lipschitz en termes de la regularitat del seu nucli de Poisson. Més precisament, presentem una demostració del fet que, si $\Omega$ és un domini Lipschitz fitat i el seu nucli de Poisson és una funció positiva de classe $C^{k,\alpha}$, aleshores $\partial\Omega$ és $C^{k+1,\alpha}$. L’argument es basa en l’estudi de les fronteres lliures Lipschitz de solucions febles del problema d’Alt-Caffarelli. Demostrem estimacions de regularitat òptima i de no-degeneració per a solucions febles, establim un teorema de $\varepsilon$-regularitat, i estudiem blow-ups a la frontera lliure mitjançant la fórmula de monotonia de Weiss. La geometria Lipschitz de la frontera lliure ens permet demostrar que tots els límits de blow-up són solucions de semiespai, fet que implica la regularitat de la frontera lliure.
Descripció
Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2026, Director: Xavier Ros Oton
Recurs relacionat
Citació
Col·leccions
Citació
MAC AN MHAOIR GUASCH, Pau. Regularity of Lipschitz domains in terms of their Poisson Kernel. [consulted: 2 of October of 2026]. Available at: https://hdl.handle.net/2445/231747