On Time-Frequency Localization: Gabor Frames and the Balian-Low Theorem

Abstract

[eng] This work studies time-frequency localization in the context of signal analysis. More precisely, it focuses on the Fourier transform, the short-time Fourier transform, and Gabor systems as tools to represent signals in both time and frequency. Special attention is given to the limitations imposed by the uncertainty principle and the Balian-Low theorem, which show that a signal representation cannot be simultaneously discrete, orthonormal, and well localized in time and frequency. Finally, the work presents Gabor frames as a natural alternative to orthonormal bases, emphasizing the role of Gaussian windows and the density condition for stable reconstruction.

[cat] Aquest treball estudia la localització temps-freqüència en el context de l’anàlisi de senyals. Més concretament, se centra en la transformada de Fourier, la transformada de Fourier de temps curt i els sistemes de Gabor com a eines per representar senyals tant en el temps com en la freqüència. Es presta una atenció especial a les limitacions imposades pel principi d’incertesa i pel teorema de Balian-Low, que mostren que una representació de senyals no pot ser simultàniament discreta, ortonormal i ben localitzada en temps i freqüència. Finalment, el treball presenta els frames de Gabor com una alternativa natural a les bases ortonormals, destacant el paper de les finestres gaussianes i de la condició de densitat per a una reconstrucció estable.