Àlgebres lliures i condicoins de Mal’cev

Abstract

The aim of this project is to study free algebras through a universal algebra viewpoint. Given a class of algebras K (such as groups, rings or fields), one may want to work with a generic representative whose study offers some insight into the class properties, that is, a free algebra in K.

We will discuss how to construct such algebra and some of properties and aplications. For one, we usually describe algebras through some ”axioms” that are held by any elements of the algebra. We will study which kind of classes can be described via equations and which sets of equations can define a class, which will be formalized by Birkhoff’s theorem and the study of equational logic.

Furthermore, we will see the so-called Mal’cev conditions: a way to characterize some properties of a given variety through the existence of a certain term that satisfies a series of identities (different for each property).

L’objectiu d’aquest treball és estudiar les àlgebres lliures des del punt de vista de l'àlgebra universal. Donada una classe d’àlgebres K (com els grups, els anells o els cossos), hom podria voler treballar amb un representant genèric de la classe que pugui oferir alguna informació de les propietats de la classe, és a dir, una àlgebra lliure en K. Tractarem la construcció d’una àlgebra amb aquestes característiques i també algunes propietats i aplicacions. Per una banda, estudiarem quin tipus de classes es poden descriure a través d’equacions i també quins conjunts d’equacions poden definir una classe, el que quedarà formalitzat en el teorema de Birkhoff i l’estudi de la lògica equacional. A més, veurem les anomenades condicions de Mal’cev: una manera de caracteritzar algunes propietats d’una varietat donada a través de l’existència d’un cert terme que satisfaci una sèrie d’identitats (diferents per a cada propietat).