Sistemes Hamiltonians i Teorema de Liouville–Arnold

Abstract

This bachelor’s thesis focuses on the study of Hamiltonian systems, with particular emphasis on the theory of integrability. Algebraic concepts such as symplectic matrices and the Poisson bracket are introduced, together with an analysis of the properties of linear Hamiltonian systems. The core of the work is the Liouville–Arnold theorem, which is stated and proved in detail. In particular, it is shown that, for a completely integrable system with compact and connected level sets, these are diffeomorphic to an n-dimensional torus and the associated flow is quasi periodic. This result highlights the relationship between the global topology of the manifolds and the analysis of differential equations, and allows us to conclude the integrability of the system by quadratures.

Aquest treball final de grau es centra en l’estudi dels sistemes Hamiltonians, amb especial atenció a la teoria de la integrabilitat. S’introdueixen conceptes algebraics com les matrius simplèctiques i el claudàtor de Poisson, així com l’anàlisi de les propietats dels sistemes hamiltonians lineals. El nucli del treball és el teorema de Liouville–Arnold, que s’enuncia i es demostra detalladament. En particular, es mostra que, per a un sistema completament integrable amb varietats de nivell compactes i connexes, aquestes són difeomorfes a un tor n-dimensional i que el flux associat és quasi periòdic. Aquest resultat posa de manifest la relació entre la topologia global de les varietats i l’anàlisi de les equacions diferencials, i permet concloure la integrabilitat del sistema per quadratures.