Periodic points and holomorphic functions

Abstract

[en] The main result presented in this project is the existence of repelling periodic points of any minimal period for entire transcendental functions with a bounded set of singular values (i.e. functions in class B), following the approach of A. M. Benini [3]. We show this is not true for functions outside the class B. To that end, we first study the different behaviours of holomorphic functions around fixed points and the existence of conjugacies and normal forms, in particular (but not restricted to) repelling fixed points. We also present some specific tools which are fundamental in this proof: hyperbolic geometry and the mapping structure of maps of class B.

[ca] El resultat principal presentat en aquest projecte és l’existència de punts periòdics repulsors de qualsevol període mínim per a funcions enteres transcendents tals que el seu conjunt de valors singulars és acotat, també conegudes com a funcions dins de la classe B. Seguim l’enfocament donat per A. M. Benini a [3], i també mostrem que això no és cert per a funcions enteres transcendents fora de la classe B. Amb aquesta finalitat, primer estudiem els diferents comportaments de les funcions holomorfes al voltant de punts fixos i l’existència de conjugacions i formes normals. En particular, però sense restringir-nos-hi, estudiem punts fixos repulsors. També presentem algunes eines específiques que són fonamentals per aquesta prova: la geometria hiperbòlica i l’estructura de les funcions pertanyents a la classe B.