Integral d'Itô i equacions diferencials estocàstiques

Abstract

[en] This thesis begins by giving four strokes on stochastic processes and with the characterization of Brownian motion, highlighting its fundamental properties and the highly irregular nature of its trajectories. Subsequently, the Itô integral is constructed and its main properties are analyzed. The Itô formula is then presented as a generalization of the classical chain rule in the stochastic setting. Afterwards, stochastic differential equations are introduced, together with an existence and uniqueness theorem under Lipschitz conditions. Finally, the practical relevance of stochastic differential equations is illustrated through three important models: Black-Scholes-Merton, Ornstein-Uhlenbeck and SABR, and numerical methods for the simulation of trajectories are presented, with examples that illustrate their behavior and accuracy.

[ca] Aquest treball s’inicia donant quatre pinzellades sobre processos estocàstics i amb la caracterització del moviment brownià, tot destacant-ne les propietats fonamentals i el caràcter irregular de les seves trajectòries. A continuació, es construeix la integral d’Itô i se n’analitzen les propietats principals. Seguidament, es presenta la fórmula d’Itô, que generalitza la regla de la cadena clàssica al context estocàstic. Posteriorment, s’introdueixen les equacions diferencials estocàstiques i s’enuncia un teorema d’existència i unicitat de solució sota hipòtesis de Lipschitz. Finalment, s’il·lustra la utilitat pràctica d’aquestes equacions mitjançant tres models rellevants: Black-Scholes-Merton, Ornstein-Uhlenbeck i SABR, i es presenten mètodes numèrics per a la simulació de trajectòries, amb exemples que permeten analitzar-ne el comportament i la precisió.