Teoremes de Hahn-Banach i Krein-Milman

Abstract

A l’any 1940, Mark Krein i el seu alumne David Milman van formular un dels resultats fonamentals de l’anàlisi funcional: el Teorema de Krein-Milman. Aquest teorema sorgeix, quasi com una conseqüència, dels teoremes de Separació i Extensió de Hahn-Banach, que permeten separar punts de conjunts convexos per mitjà d’hiperplans i estendre funcionals lineals continus.

En concret, el teorema estableix que, en un espai vectorial topològic localment convex, tot subconjunt compacte, convex i no buit KKK, coincideix amb la clausura de la càpsula convexa dels seus punts extremals. És a dir:

$K = \overline{\operatorname{co}(\operatorname{Ext} K)}$

Aquesta descomposició en punts extremals no sols descriu la geometria del conjunt, sinó que també és essencial per a l’estudi de propietats de dualitat, la formulació d’estratègies mixtes en teoria de jocs, i l’anàlisi de solucions òptimes en economia i programació lineal.