El conjunto de módulo máximo de funciones enteras

Abstract

[eng] This work is dedicated to the rigorous study of the geometric structure of the maximum modulus set $M(f)$ of an entire function $f$. This set is defined as the family of points where the entire function attains its maximum modulus for each radius. Furthermore, we also study the growth of the function that counts the number of points where the maximum is attained on $\partial D(0,r)$ for each radius $r \geq 0$, which we will denote by $v(r)$.

In the first part of this work, Blumenthal’s main theorem [Blu07] is reconstructed and detailed, applying tools from local analytic geometry to prove that, except for monomials, the set $M(f)$ consists of a countable number of analytic curves. Next, examples calculating this set for specific functions are presented. Finally, the work addresses Erdős’s question of whether the number of maximum points on a circle can be arbitrarily large as the radius varies; that is, the unboundedness of $v(r)$. The proposal of a holomorphic function in the unit disk given by Herzog and Piranian [HP68] is analyzed and detailed. Furthermore, a limitation in the original construction of that article is exposed, and an alternative solution is proposed, confirming the affirmative answer to Erdős’s question.

[esp] Este trabajo se dedica al estudio riguroso de la estructura geométrica del conjunto de módulo máximo $M(f)$ de una función entera $f$. Este conjunto se define como la familia de puntos donde la función entera alcanza su módulo máximo para cada radio. Además, también estudiamos el crecimiento de la función que cuenta el número de puntos donde alcanza el máximo en $\partial D(0,r)$ para cada radio $r \geq 0$, que denotaremos por $v(r)$.

En la primera parte del trabajo, se reconstruye y detalla el teorema principal de Blumenthal [Blu07], aplicando herramientas de geometría analítica local para demostrar que, salvo para monomios, el conjunto $M(f)$ se compone de una cantidad numerable de curvas analíticas. A continuación, se exponen ejemplos del cálculo de este conjunto para funciones específicas. Finalmente, el trabajo aborda la pregunta de Erdős sobre si el número de puntos de máximo en una circunferencia puede ser arbitrariamente grande al variar el radio; es decir, la no acotación de $v(r)$. Se analiza y detalla la propuesta de una función holomorfa en el disco unidad dada por Herzog y Piranian [HP68]. También se expone una limitación en la construcción original de dicho artículo y se propone una solución alternativa, confirmando la respuesta afirmativa a la cuestión de Erdős.

[cat] Aquest treball es dedica a l’estudi rigorós de l’estructura geomètrica del conjunt de mòdul màxim $M(f)$ d’una funció sencera $f$. Aquest conjunt es defineix com la família de punts on la funció sencera assoleix el seu mòdul màxim per a cada radi. A més, també estudiem el creixement de la funció que compta el nombre de punts on s’assoleix el màxim a $\partial D(0,r)$ per a cada radi $r \geq 0$, que denotarem per $v(r)$.

En la primera part del treball, es reconstrueix i es detalla el teorema principal de Blumenthal [Blu07], aplicant eines de geometria analítica local per demostrar que, llevat dels monomis, el conjunt $M(f)$ es compon d’una quantitat numerable de corbes analítiques. A continuació, s’exposen exemples del càlcul d’aquest conjunt per a funcions específiques. Finalment, el treball aborda la pregunta d’Erdős sobre si el nombre de punts de màxim en una circumferència pot ser arbitràriament gran en variar el radi; és a dir, la no-acotació de $v(r)$. S’analitza i es detalla la proposta d’una funció holomorfa en el disc unitat donada per Herzog i Piranian [HP68]. També s’exposa una limitació sobre la construcció original de l’article esmentat i es proposa una solució alternativa, confirmant la resposta afirmativa a la qüestió d’Erdős.