Morley's contribution to Vaught's conjecture

Abstract

Vaught’s Conjecture states that, even without the use of the continuum hypothesis, if the number of non-isomorphic countable models of a complete theory in first-order logic is uncountable, then it is the cardinality of the continuum. In this work, we prove Morley’s Theorem on the number of countable models, which states that if the number of non-isomorphic countable models of a complete theory is greater than the first uncountable cardinal, then it is equal to the cardinality of the continuum. In the first chapter, we present the results in topology that show that uncountable analytic sets have the cardinality of the continuum. In the second chapter, we explore some results in extensions of first-order logic that will allow us to prove Morley’s Theorem.

La conjectura de Vaught afirma que, inclús sense l’ús de la hipòtesi del continu, si el nombre de models numerables no isomorfs d’una teoria completa en lògica de primer ordre és no numerable, llavors és la cardinalitat del continu. En aquest treball demostrem el teorema de Morley sobre el nombre de models numerables, que afirma que si el nombre de models numerables no isomorfs d’una teoria completa és superior al primer cardinal no numerable, llavors és igual al cardinal del continu. En el primer capítol, presentem els resultats de topologia que mostren que els conjunts analítics no numerables tenen la cardinalitat del continu. En el segon capítol, explorem alguns resultats en extensions de la lògica de primer ordre que ens permetran demostrar el teorema de Morley.