Representation Theory and Structure of Semisimple Lie Algebras

Abstract

[eng] This work focuses on Lie algebras and representation theory, a field of mathematics that was born in the 19th century and remains relevant today in areas such as differential geometry, number theory, and physics.

This dissertation covers several topics. We introduce matrix Lie groups, a specific type of Lie groups, as well as the concept of the Lie algebra associated with them and, more generally, the Lie algebra of an arbitrary Lie group. Next, we introduce the concept of representation. We study and prove the structure of finite-dimensional, complex, irreducible representations of the Lie algebra $sl(2;\mathbb{C})$, which is necessary for understanding the structure of semisimple Lie algebras. After introducing Cartan subalgebras, roots and root space decomposition, we state and prove the main theorem of this work. This theorem states that every finite-dimensional, complex, semisimple Lie algebra admits a simple system of roots, a fundamental result in the structure theory of semisimple Lie algebras.

[cat] Aquest treball se centra en les àlgebres de Lie i la teoria de la representació, una àrea matemàtica nascuda al segle XIX i amb rellevància en l’actualitat en àmbits com la geometria diferencial, la teoria de nombres i la física.

Aquesta dissertació cobreix diversos temes. Introduïm els grups de Lie de matrius, una classe de grups de Lie, així com el concepte d’àlgebra de Lie associada a ells i, més en general, l’àlgebra de Lie d’un grup arbitrari. A continuació, introduïm el concepte de representació. Estudiem i demostrem l’estructura de les representacions de dimensió finita, complexes, irreductibles de l’àlgebra de Lie $sl(2;\mathbb{C})$, que és necessària per entendre l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples.

Un cop introduïdes les subàlgebres de Cartan, les arrels i la descomposició en espais d’arrels, enunciem i demostrem el teorema principal d’aquest treball. Aquest teorema afirma que tota àlgebra de Lie semisimple, complexa i de dimensió finita admet un sistema simple d’arrels, un resultat fonamental en la teoria de l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples.