El moviment brownià aplicat a les finances: el model Black-Scholes

Abstract

Aquest treball té com a objectiu explorar el moviment brownià, els seus fonaments matemàtics i les seves aplicacions en les finances, especialment en el model de Black-Scholes. Un moviment brownià és un procés estocàstic en temps continu sense memòria, és a dir, la seva evolució futura depèn únicament del seu estat present. Atès que les seves trajectòries són continues però enlloc diferenciables, el càlcul clàssic no és suficient per tractar-ne la dinàmica. Això va motivar el desenvolupament del càlcul d’Itô, que permet definir integrals estocàstiques i resoldre equacions diferencials estocàstiques. Aquestes eines són essencials per modelar l’evolució dels preus dels actius en els mercats financers, com en el model de Black-Scholes. Es presenta la seva deducció, basada en la dinàmica del moviment brownià i el càlcul d’Itô, juntament amb les fórmules de valoració d’opcions financeres. A més, es discuteixen les limitacions del model, en particular el tractament de la volatilitat, i s’introdueixen aproximacions alternatives per captar millor la complexitat dels mercats.

This paper aims to explore Brownian motion, its mathematical foundations, and its applications in finance, particularly in the Black-Scholes model. A Brownian motion is a continuous time stochastic process with no memory, that is, its future evolution depends only on its present state. Due to the fact that its trajectories are continuous but nowhere differentiable, classical calculus is not sufficient to handle its dynamics. This led to the development of Itô calculus, which enables the definition of stochastic integrals and the solution of stochastic differential equations. These tools are essential for modeling the evolution of asset prices in financial markets, as in the Black-Scholes model. Its derivation, based on the dynamics of Brownian motion and Itô calculus, is presented along with the pricing formulas for financial options. The discussion also addresses the model’s limitations, particularly its treatment of volatility, and introduces alternative approaches to better capture market complexities.