La fita de Hasse per a corbes el·líptiques

Abstract

[en] The main goal of this work is to give an introduction of the theory of elliptic curves and to prove Hasse's bound for the number of rational points on an elliptic curve defined over a finite field. To achieve these objectives we will introduce all the notions needed from algebraic curve theory and the concepts leading to the statement of the Riemann-Roch theorem. Lastly, we will define elliptic curves and isogenies. The study of their properties will lead us to the proof of Hasse's bound.

[cat] L’objectiu d’aquest treball és demostrar la fita de Hasse sobre el nombre de punts racionals en una corba el·líptica definida sobre un cos finit. La teoria que hem hagut de desenvolupar per a assolir aquesta demostració representa una bona introducció a la teoria de corbes el·líptiques. Es treballen conceptes bàsics de corbes algebraiques fins a l’enunciat del teorema de Riemann-Roch, aleshores es presenten i treballem les nocions bàsiques de corbes el·líptiques definides sobre cossos arbitraris. Finalment, es demostra la fita de Hasse a partir de resultats i conceptes demostrats en el desenvolupament de la teoria.