El teorema de completesa de la lògica infinitvalorada de Lukasiewicz

Abstract

[en] This thesis presents a proof of the completeness theorem of the infinite-valued Lukasiewicz calculus, undertaking a more general formulation known as the finite completeness theorem. To this end, we introduce the Lukasiewicz many-valued propositional logics and the axiomatization of the infinite-valued case. We then develop the necessary algebraic background by studying MV-algebras, Wajsberg algebras, and ordered abelian groups. Finally, using the tools introduced throughout the thesis, we prove the completeness theorem of the infinite-valued Lukasiewicz calculus, discuss some proof strategies proposed by different authors, and analyze the failure of the strong completeness theorem.

[ca] En aquest treball es presenta una demostració del teorema de completesa de la lògica infinitvalorada de Łukasiewicz, abordant una formulació més general coneguda com el teorema de completesa finitària. Amb aquest objectiu, s’introdueixen les lògiques semàntiques de Łukasiewicz així com l’axiomatització de la lògica infinitvalorada. A continuació, es desenvolupa el marc teòric algebraic necessari mitjançant l’estudi de les MV-àlgebres, les àlgebres de Wajsberg i els grups abelians ordenats. Finalment, a partir de les eines presentades anteriorment, es demostra el teorema de completesa de la lògica infinitvalorada de Łukasiewicz; es discuteixen les estratègies de demostració emprades per diversos autors i s’argumenta la no validesa del teorema de completesa fort.

[es] En este trabajo se presenta una demostración del teorema de completitud de la lógica infinitunvaluada de Łukasiewicz, llevando a cabo una formulación más general conocida como el teorema de completitud finitaria. Con este objetivo, se introducen las lógicas semánticas de Łukasiewicz y la axiomatización de la lógica infinitunvaluada. A continuación, se desarrolla el marco teórico algebraico necesario mediante el estudio de las MV-álgebras, las álgebra de Wajsberg y los grupos abelianos ordenados. Finalmente, a partir de las herramientas presentadas anteriormente, se demuestra el teorema de completitud de la lógica infinitunvaluada de Łukasiewicz, se discuten las estrategias de demostración propuestas por diversos autores y se argumenta la no validez del teorema de completitud fuerte.