Treballs Finals de Grau (TFG) - Matemàtiques

URI permanent per a aquesta col·leccióhttps://hdl.handle.net/2445/31442

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

Estadístiques

Examinar

Mostrant 1 - 20 de 1043

Image Generation via Drifting
(2026-06-10) Yao Chen, Xu; Vitrià i Marca, Jordi
[eng] Most state-of-the-art generative models that achieve high sample quality, from image systems such as Stable Diffusion 3 to video systems such as Meta's Movie Gen, pay for it at inference time: producing a single sample requires simulating a differential equation over tens to hundreds of sequential network evaluations (Stable Diffusion 3, for instance, uses fifty). This work studies drifting, a recently proposed framework that instead concentrates the cost in training and generates each sample in a single forward pass. It trains the generator to follow a drifting field: a kernel-based vector field that pulls each generated sample toward the real data and away from the other generated samples. We develop the mathematical foundations of this framework, characterising when its drifting field vanishes. We then implement the method as a class-conditional transformer (DriftDiT) and evaluate one-step generation on MNIST and Fashion-MNIST, reaching Fréchet Inception Distances of 3.86 and 7.64 respectively. [cat] Els models generatius més avançats, des de sistemes d’imatge com Stable Diffusion 3 fins a generadors de vídeo com Movie Gen de Meta, produeixen mostres d’alta qualitat, però a costa d’una generació lenta: obtenir una sola mostra requereix simular una equació diferencial mitjançant desenes o centenars d’avaluacions consecutives de la xarxa (Stable Diffusion 3, per exemple, en fa cinquanta). Aquest treball estudia el drifting, un marc proposat recentment que, en canvi, desplaça aquest cost cap a l’entrenament i genera cada mostra amb una única avaluació. La idea és entrenar el generador perquè segueixi el drifting: un camp vectorial, definit a partir de kernels, que atrau cada mostra generada cap a les dades reals i l’allunya de la resta de mostres generades. Desenvolupem els fonaments matemàtics i caracteritzem en quins casos s’anul·la el camp. Finalment, l’implementem com un transformer condicionat per la classe (DriftDiT) i avaluem la generació en un sol pas sobre MNIST i Fashion-MNIST, on obtenim distàncies de Fréchet Inception de 3.86 i 7.64, respectivament.
Criptosistema McEliece en el context postquàntic
(2026-06-10) Ruiz Caballol, Iris; Guitart Morales, Xavier
[eng] The aim of this project is to study and implement the McEliece cryptosystem. First, the necessary concepts from error-correcting code theory and linear codes are introduced. Generalized Reed-Solomon codes are then examined, leading to the definition of alternant codes and Goppa codes, which play a fundamental role in the original McEliece construction. The cryptosystem itself is subsequently described, and the Sidelnikov–Shestakov attack is analysed. Finally, the post-quantum security of McEliece is discussed, together with its main advantages and practical limitations, and a computational implementation of the studied algorithms is presented. [cat] L’objectiu d’aquest treball és estudiar i implementar el criptosistema de McEliece. Per fer-ho, primer s’introdueixen els conceptes necessaris de la teoria de codis correctors d’errors i dels codis lineals. Tot seguit, s’estudien els codis Reed-Solomon generalitzats, que permeten introduir posteriorment els codis alternants i els codis de Goppa, fonamentals en la construcció original de McEliece. A continuació, s’explica el funcionament del criptosistema i s’analitza l’atac de Sidelnikov–Shestakov. Finalment, es discuteix la seguretat postquàntica de McEliece, els seus avantatges i limitacions pràctiques, i es realitza una implementació computacional dels algorismes estudiats.
Generative Modelling via Drifting: Efficient One-Step Image Generation
(2026-06-06) Royo San Miguel, Christian; Vitrià i Marca, Jordi
[eng] Generative modelling can be interpreted as learning a map $f$ that pushes a simple noise distribution $p_\varepsilon$ forward to the data distribution $p_{\text{data}}$. State-of-the-art generators based on diffusion or flow matching perform this push iteratively, simulating an SDE or ODE during inference and involving tens to hundreds of function evaluations. Recent work on Multisample Flow Matching and Rectified Flow reduces this cost by straightening the learned trajectories, but the additional reflow stages multiply the training budget significantly. Deng et al. (2026) recently introduced Drifting Models, a paradigm that avoids iterative inference completely: rather than learning a vector field over time, the generator is trained so that its output distribution evolves during training towards $p_{\text{data}}$, driven by a drifting field that vanishes precisely when the two distributions match. Sampling at inference reduces to a single forward pass. This thesis develops the mathematical foundations of the drifting framework (particle dynamics, RKHS theory, Maximum Mean Discrepancy, and the derivation of the drifting field as the gradient of an MMD objective) and ports the method to the MLX framework on Apple Silicon. We evaluate the resulting onestep generator on MNIST under three progressively richer architectures (MLP, naïve UNet, and UNet with training-level stabilisers), reaching a feature-space FID of 78.87 and a strict recognition rate of 63.3% after roughly 45 minutes of training on a consumer laptop, without class conditioning. The experiments confirm that the drifting framework can be reproduced on a consumer laptop in under an hour of training while preserving the qualitative behaviour reported in the original paper. [cat] La modelització generativa es pot interpretar com l’aprenentatge d’una aplicació $f$ que transporta una distribució de soroll simple $p_\varepsilon$ cap a la distribució de dades $p_{\mathrm{data}}$. Els generadors de l’estat de l’art basats en difusió o en flow matching realitzen aquest transport de manera iterativa, simulant una SDE o una ODE durant la inferència i requerint desenes o centenars d’avaluacions de la funció. Treballs recents com Multisample Flow Matching i Rectified Flow redueixen aquest cost rectificant les trajectòries apreses, però les fases addicionals de reflow multipliquen significativament el pressupost d’entrenament. Deng et al. (2026) han introduït recentment els Drifting Models, un paradigma que evita completament la inferència iterativa: en lloc d’aprendre un camp vectorial al llarg del temps, el generador s’entrena de manera que la seva distribució de sortida evolucioni durant l’entrenament cap a $p_{\mathrm{data}}$, impulsada per un camp de drifting que s’anul·la precisament quan les dues distribucions coincideixen. El mostreig en inferència es redueix a una única avaluació de la xarxa. Aquest treball desenvolupa els fonaments matemàtics del marc de drifting (dinàmica de partícules, teoria d’RKHS, Maximum Mean Discrepancy, i la derivació del camp de drifting com a gradient d’un objectiu MMD) i adapta el mètode a la infraestructura MLX sobre Apple Silicon. Avaluem el generador d’un sol pas resultant sobre MNIST amb tres arquitectures progressivament més riques (MLP, UNet naïf, i UNet amb estabilitzadors a nivell d’entrenament), assolint un FID de 78,87 i una taxa de reconeixement estricta del 63,3% després d’aproximadament 45 minuts d’entrenament en un portàtil de consum, sense condicionament per classe. Els experiments confirmen que el marc de drifting es pot reproduir en un portàtil de consum en menys d’una hora d’entrenament tot preservant el comportament qualitatiu descrit al treball original.
Introduction to the cos method for option pricing
(2026-06-09) Navarra Paños, Guillem; Vitrià i Marca, Jordi; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
The main goal of this work is to introduce the COS method, a Fourier–cosine series based technique for the fast numerical pricing of financial options. We start from the basic financial and mathematical ideas needed to understand option pricing, including derivative contracts, risk-neutral valuation, the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Brownian motion, and the Black-Scholes framework. After that, we introduce Fourier methods and explain why characteristic functions are useful when the distribution of the asset price is not handled directly. The project then focuses on the derivation and implementation of the COS method. The method is presented through the truncation interval, the model characteristic function, the payoff coefficients, and the finite cosine sum. We apply it first to the Black-Scholes model, where a closed-form formula is available and can be used as a benchmark. Then we extend the numerical study to the Heston and Bates models, where the characteristic function approach is especially useful. Finally, the method is implemented in Python and tested through several numerical experiments. The results show that the COS method achieves very high accuracy with a relatively small number of terms, while Monte Carlo simulation needs many more paths to reduce the error. This makes the COS method a powerful and efficient alternative for option pricing, especially in models where closed-form prices are not directly available. Notation: Throughout this work, $i$ denotes the imaginary unit, $\mathbb{R}$ the real line, and FTAP the Fundamental Theorem of Asset Pricing. We write $S_t$ for the price of the underlying asset at time $t$, $S_0$ for its initial value, $S_T$ for its value at maturity, $K$ for the strike price, and $T$ for the time to maturity. The risk-free interest rate is denoted by $r$, the dividend yield by $q$, and the volatility by $\sigma$. Brownian motion is denoted by $W_t$. When logarithmic variables are used in the COS method, we write $$x=\log\left(\frac{S_0}{K}\right), \qquad y=\log\left(\frac{S_T}{K}\right).$$ The characteristic function of the model is denoted by $\phi$, and its Fourier variable is denoted by $\omega$ or $u$. The interval $[a,b]$ is the truncation interval used in the COS approximation, $c_n$ denotes the cumulants of the log-price, and $N$ is the number of terms in the finite cosine expansion. The payoff coefficients are denoted by $V_k$ or $U_k$, depending on the notation used in the corresponding section.
Euler-Flow Activations in Neural ODEs
(2026-06-09) Gràvalos Talló, Bruna; Haro, Àlex; Ruiz-Balet, Domènec
This thesis investigates whether using velocity fields derived from incompressible Euler equations as activation functions in residual neural networks offers advantages over using ReLUs for spatially structured classification tasks. The motivation for this study comes from two specific theoretical observations. Firstly, recent work has shown that approximating measure-preserving maps with ReLU perceptrons requires a large number of compositions that grows with the desired precision. Secondly, Arnold’s theorem identifies the geodesics of the group of volume-preserving diffeomorphisms as flows of the incompressible Euler equations. To test this hypothesis, three explicit families of solutions to the Euler equations in two dimensions are compared against ReLU and Siren on three two-dimensional classification tasks, with the number of parameters matched across all architectures. The results support the hypothesis for the main architecture tested: every non-ReLU activation outperforms ReLU by between ten and twenty-five percentage points across all tasks and seeds. However, further work is required to extend this result to deeper and more complex architectures.
Modelització estocàstica de la sinistralitat
(2026-06-10) Zhang, Hao; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-
[eng] This Bachelor’s Thesis explores the mathematical foundations of risk theory applied to the insurance sector. The main objective is to rigorously model the total cost of a policy portfolio by breaking it down into two fundamental variables: claim frequency (studied through Poisson and renewal processes) and claim severity. The thesis grounds these concepts in a practical application using real-world auto insurance data from France. This practical application exposes the real-world impact of extreme claims, commonly known as "heavy tails". It empirically demonstrates how this extreme skewness causes classical analytical approximations to fail, leading to the mathematical collapse of models like the Translated Gamma when calculating the Solvency Capital Requirement (VaR). As a solution, a reinsurance treaty is applied and evaluated to truncate the tail of the distribution, thereby stabilizing the portfolio’s risk and allowing for a coherent calculation of premiums and safety margins. [cat] Aquest Treball Final de Grau explora els fonaments matemàtics de la teoria del risc aplicats al sector assegurador. L’objectiu principal és modelitzar de manera rigorosa el cost total d’una cartera de pòlisses, desglossant-lo en dues variables fonamentals: la freqüència dels sinistres (estudiada mitjançant processos de Poisson i de renovació) i la seva severitat. El treball desenvolupa aquests conceptes en una aplicació pràctica utilitzant dades reals d’assegurances d’automòbils a França. L’estudi aborda un dels grans problemes de l’actuariat modern: la presència de sinistres extrems o de cua pesant. Es demostra empíricament com aquesta asimetria extrema fa fracassar les aproximacions analítiques clàssiques, provocant el col·lapse matemàtic de models com la Gamma Traslladada a l’hora de calcular el Capital de Solvència (VaR). Com a solució, s’aplica i s’avalua un tractat de reassegurança per truncar la cua de la distribució, aconseguint estabilitzar el risc de la cartera i permetent un càlcul coherent de les primes i els marges de seguretat.
Teorema de Harnack
(2026-06-10) Vives Muñoz, Ester; Naranjo del Val, Juan Carlos
[eng] This work is centred on Harnack’s theorem for nonsingular real projective plane curves. To reach this result, it starts from the theory of affine and projective plane curves and their relation with Riemann surfaces. In particular, it studies how a real curve can also be considered over the complex numbers, which allows one to associate to it a compact Riemann surface. Along the way, the notions of intersection and intersection multiplicity of curves are introduced, leading to Bézout’s theorem. The work also studies morphisms between Riemann surfaces and the Hurwitz formula, which is used to compute the genus of a nonsingular projective plane curve. With these tools, Harnack’s inequality is presented: it bounds the number of connected components of the real part of a curve by the genus of its complexification plus one. This bound is studied from two points of view: a more algebraic one, based on Bézout’s theorem, and a more topological one, based on complex conjugation and homology. The work ends by indicating how this result leads naturally to the question of not only how many components a real curve can have, but also how these components can be arranged in the real projective plane, a question related to Hilbert’s sixteenth problem. [cat] Aquest treball té com a fil conductor el teorema de Harnack per a corbes projectives planes reals no singulars. Per arribar-hi, es parteix de la teoria de corbes afins i projectives planes i de la seva relació amb les superfícies de Riemann. En particular, s’estudia com una corba real es pot considerar també sobre els nombres complexos, fet que permet associar-li una superfície de Riemann compacta. Dins d’aquest recorregut s’introdueixen les nocions d’intersecció i de multiplicitat d’intersecció entre corbes, fins a arribar al Teorema de Bézout. També es treballen els morfismes entre superfícies de Riemann i la fórmula de Hurwitz, que permet calcular el gènere d’una corba projectiva plana no singular. Amb aquests elements es presenta la desigualtat de Harnack, que acota el nombre de components connexes de la part real d’una corba pel gènere de la seva complexificació més una unitat. Aquesta cota s’estudia des de dues perspectives: una de més algebraica, basada en el Teorema de Bézout, i una altra de més topològica, basada en la conjugació complexa i l’homologia. El treball acaba indicant com aquest resultat porta a preguntar-se no només quantes components pot tenir una corba real, sinó també com poden estar disposades dins del pla projectiu real, qüestió que enllaça amb el problema XVI de Hilbert.
Del joc de Hex al teorema de Jordan-Schönflies
(2026-06-10) Vilchez Costa, Àlex; García López, Ricardo, 1962-
[eng] This work demonstrates D. Gale’s Hex theorem, which is utilized to prove the Brouwer fixed-point theorem and, subsequently, the Jordan curve theorem following the approach of R. Maehara. Then, building primarily upon the works of R. H. Bing and S. S. Cairns, the Jordan–Sch¨onflies extension is achieved. This nexus between board games and abstract mathematics converges across disciplines such as graph theory, analysis, and, most notably, algebraic topology. [cat] En aquest treball es demostra el teorema de Hex de D. Gale, mitjançant el qual s’aconsegueix provar el teorema del punt fix de Brouwer i, a partir d’aquest, el teorema de la corba de Jordan seguint les idees de R. Maehara. Seguidament, recolzant-se sobretot en els treballs de R. H. Bing i S. S. Cairns, s’assoleix l’extensió de Jordan-Schönflies. Aquest nexe entre els jocs de taula i la matemàtica abstracta conflueix en disciplines com teoria de grafs, anàlisi i, sobretot, topologia algebraica.
Models causals estructurals i resultats potencials
(2026-06-10) Vilar Ramirez, Mario; Vives i Santa Eulàlia, Josep, 1963-; Vitrià i Marca, Jordi
[cat] Aquest treball presenta una introducció teòrica a la inferència causal. El fil del treball és la distinció entre associació i causalitat: les dades observacionals poden mostrar regularitats, però no determinen per si soles què passaria sota una intervenció ni què hauria passat en un escenari contrafactual. A partir d’aquesta motivació, i a través de les diferents capes de la jerarquia causal de Pearl, es desenvolupen els models causals estructurals de Pearl, les xarxes bayesianes causals, la d-separació i el problema de la identificació d’efectes causals. També s’estudia el model de resultats potencials de Neyman-Rubin, el problema fonamental de la inferència causal, els estimands més utilitzats i el paper del mecanisme d’assignació. El treball posa especial èmfasi en la connexió entre aquests dos llenguatges i en les condicions que permeten transformar una pregunta causal en una expressió estimable a partir de dades observacionals. Es distingeixen estudis experimentals i observacionals. Abans d’estudiar el cas de les admissions a Berkeley, s’estudien aquests algoritmes d’identificació i la paradoxa de Simpson. Mostrem com les inferències permeses depenen de la pregunta causal i del model assumit. [spa] Este trabajo presenta una introducción teórica a la inferencia causal. El hilo conductor del trabajo es la distinción entre asociación y causalidad: los datos observacionales pueden mostrar regularidades, pero no determinan por sí solos qué pasaría bajo una intervención ni qué habría pasado en un escenario contrafactual. A partir de esta motivación, y a través de las diferentes capas de la jerarquía causal de Pearl, se desarrollan los modelos causales estructurales de Pearl, las redes bayesianas causales, la d-separación y el problema de la identificación de efectos causales. También se estudia el modelo de resultados potenciales de Neyman-Rubin, el problema fundamental de la inferencia causal, los estimandos más utilizados y el papel del mecanismo de asignación. El trabajo pone especial énfasis en la conexión entre estos dos lenguajes y en las condiciones que permiten transformar una pregunta causal en una expresión estimable a partir de datos observacionales. Se distinguen estudios experimentales y observacionales. Antes de estudiar el caso de las admisiones en Berkeley, se estudian estos algoritmos de identificación y la paradoja de Simpson. Mostramos cómo las inferencias permitidas dependen de la pregunta causal y del modelo asumido. [eng] This work presents a theoretical introduction to causal inference. The common thread of the dissertation is the distinction between association and causation: observational data may show regularities, but they do not by themselves determine what would happen under an intervention or what would have happened in a counterfactual scenario. Based on this motivation, and through the different layers of Pearl’s causal hierarchy, we develop Pearl’s structural causal models, causal Bayesian networks, d-separation, and the problem of identifying causal effects. The Neyman-Rubin potential outcomes framework is also studied, along with the fundamental problem of causal inference, the most commonly used estimands, and the role of the assignment mechanism. The work places special emphasis on the connection between these two frameworks and on the conditions that allow transforming a causal question into an estimable expression from observational data. Experimental and observational studies are distinguished. Before studying the case of Berkeley admissions, these identification algorithms and Simpson’s paradox are studied. We show how the permitted inferences depend on the causal question and the assumed model.
Non-autonomous iteration in the unit disk
(2026-06-10) Velasco Solé, Teresa; Jové Campabadal, Anna
[eng] In this project we deal with discrete holomorphic dynamical systems defined on the unit disk $D$, and we present the main results concerning the long-term behaviour of orbits. First, in the autonomous case, where a single self-map is iterated, the Denjoy-Wolff Theorem asserts that, unless the map is an elliptic automorphism, the iterates converge to a single point of $\overline{\mathbb{D}}$. Second, in the non-autonomous setting, we consider a sequence of holomorphic self-maps $f_n : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ fixing the origin, and study how the hyperbolic distance between two orbits evolves as $n \to \infty$. Only three behaviours are possible: the distance may tend to $0$ (contracting), tend to a positive limit that is never attained (semi-contracting), or become constant from some step onwards (eventually isometric); and which case occurs is determined by the derivatives $\alpha_n = |f_n'(0)|$. [cat] En aquest treball tractem els sistemes dinàmics holomorfs discrets definits al disc unitat $\mathbb{D}$, i presentem els resultats principals sobre el comportament asimptòtic de les òrbites. En primer lloc, en el cas autònom, en què s’itera una sola aplicació, el teorema de Denjoy-Wolff afirma que, tret que l’aplicació sigui un automorfisme el·líptic, els iterats convergeixen a un únic punt de $\overline{\mathbb{D}}$. En segon lloc, en el context no autònom, considerem una successió d’aplicacions holomorfes $f_n : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ que fixen l’origen, i estudiem com evoluciona la distància hiperbòlica entre dues òrbites quan $n \to \infty$. Només són possibles tres comportaments: la distància pot tendir a $0$ (cas contractiu), tendir a un límit positiu que mai s’assoleix (cas semi-contractiu), o esdevenir constant a partir d’un cert punt (cas eventualment isomètric); i quin d’aquests té lloc queda determinat per les derivades $\alpha_n = |f_n'(0)|$.
L'equació d'ones: una guia per al jove matemàtic a l'orquestra
(2026-06-10) Vallès Martínez, Pau; Sanz Perela, Tomás
[eng] This bachelor’s thesis explores the mathematical foundations and physical applications of the wave equation as a fundamental tool for understanding the acoustics of orchestral instruments. The work is structured in three parts, progressing from the theory of partial differential equations (PDEs) to the mathematical modeling of musical instruments. First, the one-dimensional wave equation is introduced through its derivation from a vibrating string. Fundamental properties such as existence, uniqueness, stability, and the effects of friction are established, and classical solution methods including d’Alembert’s formula, separation of variables, and Duhamel’s principle are presented. Second, the study extends to higher dimensions using the Spectral Theorem for the Dirichlet Laplacian and Hilbert bases. Solutions on circular and spherical domains lead naturally to Bessel functions and spherical harmonics. The relationship between geometry and vibration spectra is examined through different boundary conditions and the inverse problem “Can one hear the shape of a drum?”. Finally, the theoretical framework is applied to three major families of orchestral instruments. Percussion instruments are modeled through membrane and beam vibrations, wind instruments through the wave equation and Webster’s horn equation, and string instruments through the classical model of a vibrating string with fixed endpoints. Overall, this work illustrates how advanced mathematical analysis connects abstract PDE theory with the physical mechanisms underlying musical sound production. [cat] Aquest treball final de grau explora els fonaments matemàtics i les aplicacions físiques de l’equació d’ones com a eina fonamental per a la comprensió de l’acústica dels instruments orquestrals. El treball s’estructura en tres parts, avançant des de la teoria de les equacions en derivades parcials (EDP) fins al modelatge matemàtic d’instruments musicals. En primer lloc, s’introdueix l’equació d’ones unidimensional a partir de la seva derivació des d’una corda vibrant. S’estableixen propietats fonamentals com l’existència, la unicitat, l’estabilitat i els efectes de la fricció, i es presenten mètodes clàssics de resolució, incloent-hi la fórmula d’Alembert, la separació de variables i el principi de Duhamel. En segon lloc, l’estudi s’estén a dimensions superiors mitjançant el teorema espectral del laplacià de Dirichlet i les bases de Hilbert. Les solucions en dominis circulars i esfèrics condueixen de manera natural a les funcions de Bessel i als harmònics esfèrics. La relació entre la geometria i l’espectre de vibració s’examina a través de diferents condicions de contorn i del problema invers “Es pot sentir la forma d’un tambor?”. Finalment, el marc teòric s’aplica a tres grans famílies d’instruments orquestrals. Els instruments de percussió es modelitzen mitjançant les vibracions de membranes i bigues, els instruments de vent mitjançant l’equació d’ones i l’equació de la trompa de Webster, i els instruments de corda mitjançant el model clàssic d’una corda vibrant amb extrems fixos. En conjunt, aquest treball il·lustra com l’anàlisi matemàtica avançada connecta la teoria abstracta de les EDP amb els mecanismes físics subjacents a la producció del so musical.
Estudi de fluxos i aplicacions 3D preservant volum: el sistema ABC
(2026-06-10) Ulloa Ruiz, Ferran; Vieiro Yanes, Arturo; Murillo López, Ainoa
[eng] This work begins by presenting basic theoretical notions about 3D flows, and some of the properties they can exhibit, such as chaos, 2D tori, and their role in dynamics. We will study the existence and effect of symmetries on the parameters and orbits of the ABC flow. Subsequently, we will construct a numerical method to visualize the orbits of the ABC flow by means of a Poincaré section. Next, we will address the transition from flows to 3D maps using Poincaré maps, as well as some of their characteristics, such as integrability, action-angle coordinates, and resonances. Finally, we will use a computer program to visualize the orbits of the ABC map for various parameter values through the use of slices. [cat] Aquest treball s’inicia presentant nocions teòriques bàsiques sobre els fluxos 3D, i algunes de les propietats que poden presentar com el caos, els tors 2D, i el seu paper en la dinàmica. Estudiarem l’existència i l’efecte de simetries en els paràmetres i les òrbites del flux ABC. Posteriorment, construirem un mètode numèric per poder visualitzar les òrbites del flux ABC mitjançant una secció de Poincaré. Seguidament, tractarem la transició de fluxos a aplicacions 3D mitjançant aplicacions de Poincaré, i certes de les seves característiques, com la integrabilitat, les coordenades acció-angle i les ressonàncies. Finalment, usarem un programa informàtic per visualitzar les òrbites de l’aplicació ABC per a diversos valors dels paràmetres mitjançant l’ús de les slices.
On Multidimensional Persistence
(2026-06-10) Trias Terol, Jan; D'Andrea, Carlos, 1973-
The main goal of this project is the study of Multidimensional Persistence. We begin by reviewing Persistent Homology, a well-studied tool in Topological Data Analysis that completely classifies filtered spaces through a discrete invariant, the barcode. We then discuss some recent advancements made in this field using Commutative Algebra, namely persistent ideals and a new (more powerful) barcode, introduced in [14]. Next, we carefully thread through Multidimensional Persistence theory, a generalization of Persistent Homology, that identifies multifiltrations with multigraded multivariate polynomial ring modules, stating a fundamental result (the Zomorodian-Carlsson correspondence, Theorem 3.5) and showing that, unlike the single-dimensional case, no complete discrete invariant exists for the multidimensional case. We end the discussion with a brief commentary on the classification of the objects studied. Finally, we give a result of our own, a generalization of the advancements made in [14] for the multidimensional case.
El Teorema de Mordell i la seva demostració: corbes el·líptiques i cohomologia de Galois
(2026-06-09) Torrent Cortada, Júlia; Guitart Morales, Xavier
[eng] This work studies elliptic curves over the rational numbers, focusing on the statement and proof of Mordell’s Theorem. This result states that the group of rational points of an elliptic curve is finitely generated. The proof is divided into two parts: first, the Weak Mordell Theorem is proved using techniques from Galois Cohomology, and then this result is used to deduce Mordell’s Theorem. Finally, the theory developed throughout the work is applied to a concrete example illustrating its main results. [cat] En aquest treball s’estudien les corbes el·líptiques sobre els racionals, centrant-se en enunciar i demostrar el Teorema de Mordell. Aquest resultat afirma que el grup de punts racionals d’una corba el·líptica és finitament generat. La prova es divideix en dues parts: primer es demostra el Teorema feble de Mordell usant cohomologia de Galois, i després usem el resultat per deduir el Teorema de Mordell. Finalment, s’aplica la teoria estudiada en un exemple que resumeix el contingut del treball.
The Radon Transform and Its Application to Computed Tomography
(2026-06-01) Sorrentino Rodríguez, Agustín A.; Antezana, Jorge
This work studies the mathematical foundations of computerized tomography from the point of view of the Radon transform. Starting from the physical interpretation of X-ray measurements as line integrals, we introduce the main analytical tools needed to formulate the reconstruction problem, including Fourier analysis, distributions, sampling theory and the Fourier slice theorem. We then discuss several inversion procedures, with special emphasis on filtered backprojection and Fourier-based reconstruction methods. Following the approach of Cascante et al., we also describe a gridding method for the numerical recovery of images from discrete projection data. The final part of the work analyzes the computational structure of the algorithm and the role of sampling, interpolation and filtering in practical reconstruction. Overall, the aim is to show how the continuous theory of the Radon transform leads naturally to implementable algorithms for medical image reconstruction.
Les aplicacions quasiconformes i el Teorema Mesurable de Riemann
(2026-06-09) Sitjà Castellarnau, Isabel; Clop, Albert
[eng] This thesis studies quasiconformal mappings and the Measurable Riemann Mapping Theorem, one of the fundamental results in the theory of quasiconformal mappings. The theorem guarantees the existence and uniqueness of a quasiconformal mapping associated with a measurable and uniformly bounded Beltrami coefficient. The main goal of this dissertation is to present a detailed proof of this result. To achieve this, several preliminary tools from real, complex, functional and harmonic analysis are developed. In particular, Sobolev spaces and some results concerning weakly differentiable homeomorphisms are introduced, together with the Cauchy and Beurling integral transforms, which play a central role in the study of the Beltrami equation. In addition, the basic theory of quasiconformal and quasisymmetric mappings is presented, with special emphasis on their analytic and geometric characterizations. Finally, by combining the results developed throughout the thesis, a proof of the Measurable Riemann Mapping Theorem is obtained. The uniqueness of solutions is established through the Stoilow factorization theorem, which provides a structural description of the solutions to the Beltrami equation. [cat] Aquest treball estudia les aplicacions quasiconformes i el Teorema Mesurable de Riemann, un dels resultats fonamentals de la teoria de les aplicacions quasiconformes. És un teorema que garanteix l’existència i la unicitat d’una aplicació quasiconforme associada a un coeficient de Beltrami mesurable i uniformement fitat. L’objectiu principal de la memòria és presentar una demostració detallada d’aquest resultat. Per assolir-lo, es desenvolupen diverses eines prèvies d’anàlisi real, d’anàlisi complexa, d’anàlisi funcional, i d’anàlisi harmònica. En particular, s’introdueixen els espais de Sobolev i alguns resultats sobre homeomorfismes feblement diferenciables, així com les transformades integrals de Cauchy i de Beurling, que tenen un paper central en l’estudi de l’equació de Beltrami. A més, es presenta la teoria bàsica de les aplicacions quasiconformes i quasisimètriques, incidint especialment en les seves caracteritzacions analítiques i geomètriques. Finalment, mitjançant els resultats desenvolupats al llarg del treball, s’obté una demostració del Teorema Mesurable de Riemann. La unicitat de les solucions es dedueix a partir del teorema de factorització de Stoilow, que proporciona una descripció estructural de les solucions de l’equació de Beltrami.
Dinàmica de l’arquitectura Transformer: Del pas discret a la modelització contínua
(2026-06-10) Singh Kaur, Arshdeep; Ruiz-Balet, Domènec
[eng] In this document we study the Transformer architecture from a mathematical viewpoint, interpreting it as a particle system, to model the trajectory of the tokens we derive a first order differential equation, and we construct an energy function to obtain a second order dynamics as the continuous limit of a method called Hamiltonian (Symplectic Euler). We relate this dynamics to Polyak’s heavy-ball method and analyze its behavior. Finally, we validate the results with numerical simulations and explore the clustering. [cat] En aquest treball estudiem matemàticament l’arquitectura Transformer que interpretem com un sistema de partícules, per modelar la trajectòria dels tokens derivem una equació diferencial de primer ordre i construïm una funció d’energia per obtenir una dinàmica de segon ordre a partir d’un esquema anomenat Hamiltonian (Euler simplèctic) i fer el seu límit continu. Relacionem aquesta dinàmica amb el mètode heavy-ball de Polyak i analitzem el comportament. Finalment, validem els resultats obtinguts amb simulacions numèriques i explorem el clustering.
On Time-Frequency Localization: Gabor Frames and the Balian-Low Theorem
(2026-06-09) Seguí Blanes, Gerard; Massaneda Clares, Francesc Xavier
[eng] This work studies time-frequency localization in the context of signal analysis. More precisely, it focuses on the Fourier transform, the short-time Fourier transform, and Gabor systems as tools to represent signals in both time and frequency. Special attention is given to the limitations imposed by the uncertainty principle and the Balian-Low theorem, which show that a signal representation cannot be simultaneously discrete, orthonormal, and well localized in time and frequency. Finally, the work presents Gabor frames as a natural alternative to orthonormal bases, emphasizing the role of Gaussian windows and the density condition for stable reconstruction. [cat] Aquest treball estudia la localització temps-freqüència en el context de l’anàlisi de senyals. Més concretament, se centra en la transformada de Fourier, la transformada de Fourier de temps curt i els sistemes de Gabor com a eines per representar senyals tant en el temps com en la freqüència. Es presta una atenció especial a les limitacions imposades pel principi d’incertesa i pel teorema de Balian-Low, que mostren que una representació de senyals no pot ser simultàniament discreta, ortonormal i ben localitzada en temps i freqüència. Finalment, el treball presenta els frames de Gabor com una alternativa natural a les bases ortonormals, destacant el paper de les finestres gaussianes i de la condició de densitat per a una reconstrucció estable.
Representation Theory and Structure of Semisimple Lie Algebras
(2026-06-10) Sancho Corsín, Irene; Marchesi, Simone
[eng] This work focuses on Lie algebras and representation theory, a field of mathematics that was born in the 19th century and remains relevant today in areas such as differential geometry, number theory, and physics. This dissertation covers several topics. We introduce matrix Lie groups, a specific type of Lie groups, as well as the concept of the Lie algebra associated with them and, more generally, the Lie algebra of an arbitrary Lie group. Next, we introduce the concept of representation. We study and prove the structure of finite-dimensional, complex, irreducible representations of the Lie algebra $sl(2;\mathbb{C})$, which is necessary for understanding the structure of semisimple Lie algebras. After introducing Cartan subalgebras, roots and root space decomposition, we state and prove the main theorem of this work. This theorem states that every finite-dimensional, complex, semisimple Lie algebra admits a simple system of roots, a fundamental result in the structure theory of semisimple Lie algebras. [cat] Aquest treball se centra en les àlgebres de Lie i la teoria de la representació, una àrea matemàtica nascuda al segle XIX i amb rellevància en l’actualitat en àmbits com la geometria diferencial, la teoria de nombres i la física. Aquesta dissertació cobreix diversos temes. Introduïm els grups de Lie de matrius, una classe de grups de Lie, així com el concepte d’àlgebra de Lie associada a ells i, més en general, l’àlgebra de Lie d’un grup arbitrari. A continuació, introduïm el concepte de representació. Estudiem i demostrem l’estructura de les representacions de dimensió finita, complexes, irreductibles de l’àlgebra de Lie $sl(2;\mathbb{C})$, que és necessària per entendre l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples. Un cop introduïdes les subàlgebres de Cartan, les arrels i la descomposició en espais d’arrels, enunciem i demostrem el teorema principal d’aquest treball. Aquest teorema afirma que tota àlgebra de Lie semisimple, complexa i de dimensió finita admet un sistema simple d’arrels, un resultat fonamental en la teoria de l’estructura de les àlgebres de Lie semisimples.
De l’equació d’ones a la geometria espectral
(2026-06-01) Sánchez Alaix, Pol; Sanz Perela, Tomás
Aquest treball estudia la relació entre l’equació d’ones, les freqüències pròpies de vibració i la geometria del domini. Comencem amb el cas unidimensional de la corda vibrant amb extrems fixats, on la separació de variables porta de manera natural a les sèries de Fourier i a una interpretació musical en termes de freqüències, harmònics i espectre. Després generalitzem el problema a dominis de dimensió superior, on les freqüències pròpies venen determinades pels autovalors del Laplacià amb condicions de Dirichlet. A partir d’aquesta formulació espectral, analitzem alguns exemples explícits, com rectangles i discs, i fem servir la llei de Weyl per veure que l’espectre conté informació geomètrica del domini, com ara l’àrea en el cas bidimensional. Finalment, arribem a la pregunta de Kac: fins a quin punt es pot recuperar la forma d’un tambor a partir de les seves freqüències pròpies? El treball presenta aquesta pregunta com a punt d’arribada del recorregut i explica que, tot i que l’espectre determina certes magnituds geomètriques i resol alguns casos particulars, en general no determina completament la forma del domini.

Examinar

Enviaments recents